개념 한 쪽
유전체에 저장되는 에너지는 체적당 밀도로 따진다. u = ½ED = ½εE² = D²/(2ε)의 세 얼굴을 오가며, 전계로 직접 계산하거나 전속밀도와 밀도에서 유전율을 거꾸로 구하는 문제가 반복된다.
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출제기준 단원 「유전체 내의 정전 에너지 등」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 에너지 밀도 수치 계산 | 1 | 유전률과 전계의 대입으로 밀도 산출 |
| 유전율 역산 계산 | 1 | 전속밀도와 에너지 밀도로 유전율 산출 |
| 관계 서술 옳지 않은 것 고르기 | 1 | 유전상수·전속밀도 관계 중 틀린 항목 |
유전체 내부의 체적당 축적 에너지 밀도는 u = ½ED이고, D = εE를 대입하면 u = ½εE² = D²/(2ε)로 쓴다. 공식을 고르는 문제에서 ½εE²와 D²/(2ε)는 모두 체적당 에너지 밀도의 올바른 표현이고, ε²이나 √ε이 붙은 보기는 차원이 맞지 않아 탈락한다.
전계의 세기로 직접 계산하는 유형은 식에 값을 넣는 것으로 끝난다. 유전률값 10에 전계 100V/m이면 u = 0.5×10×100² = 5×10⁴J/m³이고, 유전율 9에 전계 100V/m이면 u = 0.5×9×10⁴ = 4.5×10⁴J/m³다. 시험 보기는 유전율의 숫자를 그대로 쓰는 계산으로 출제되므로 계수(½)와 제곱을 놓치지만 않으면 된다.
전속밀도 D와 에너지 밀도 u가 주어지면 유전율을 거꾸로 구한다. ε = D²/(2u) 또는 E = 2u/D를 거쳐 ε = D/E로 계산한다. D = 2.4×10⁻⁷C/m², u = 5.3×10⁻³J/m³이면 ε ≈ 5.43×10⁻¹²F/m이고, D = 4.8×10⁻⁷C/m²로 두 배가 되면 ε = D²/(2u)이므로 ε ≈ 2.17×10⁻¹¹F/m로 정확히 네 배가 된다.
유전상수와의 관계 서술도 빈출한다. 전속밀도가 같을 때는 εr이 클수록 에너지 밀도가 작아지고(u = D²/(2ε)), 에너지 밀도가 같을 때는 εr이 클수록 전속밀도가 커야 한다(D = √(2uε)). 굴절각이 큰 유전체는 εr이 크다. 전속이 매질의 에너지를 최대로 만들도록 퍼진다는 서술만 틀린 보기로, 실제 장은 에너지를 최소화하는 분포를 따른다.
역산 계산은 ε = D²/(2u) 한 식으로 끝낸다. (2.4×10⁻⁷)² ÷ (2×5.3×10⁻³) = 5.76×10⁻¹⁴ ÷ 1.06×10⁻² ≈ 5.43×10⁻¹²F/m. D가 4.8×10⁻⁷로 주어지면 같은 계산으로 2.17×10⁻¹¹F/m이 나온다. 직접 계산은 ½×유전율×전계²의 곱셈 순서만 지키면 값이 보기와 일치한다. 관계 서술은 'εr 크면 u 작다(D 고정)', 'εr 크면 D 크다(u 고정)', '최대 분포는 거짓' 세 문장으로 보기를 가른다.
평행판 콘덴서에 어떤 유전체를 넣었을 때 전속밀도가 2.4×10-7C/m2이고, 단위 체적 중의 에너지가 5.3×10-3 Ｊ/m3 이었다. 이 유전체의 유전률은 몇 F/m 인가?
정답 ④ · 주어진 값은 전속밀도 D = 2.4×10^-7 C/m^2와 단위체적 에너지 u = 5.3×10^-3 J/m^3이다. 유전체의 에너지밀도는 u = 1/2 E·D 이므로 전계 E = 2u/D = 2·5.3×10^-3 / 2.4×10^-7 ≈4.4167×10^4 V/m 이다.
유전률 ε=10 이고 전계의 세기가 100V/m인 유전체 내부에 축적되는 에너지 밀도는 몇 Ｊ/m3 인가?
정답 ② · 문제는 유전률 ε=10과 전계 100V/m인 유전체의 에너지 밀도를 묻는다. 유전체 내부 에너지밀도는 u=1/2·ε·E^2이다.
유전률이 9인 유전체내 전계의 100[V/m]일 때 유전체 내에 저장되는 에너지 밀도는 몇[J/m3]인가?
정답 ② · 문제는 유전율이 9인 유전체에서의 전기장 100 V/m일 때 저장되는 단위부피당 에너지 밀도를 묻는다. 엄밀한 에너지 밀도 식은 u = 1/2 ε E^2이며 ε = ε0 εr를 사용하면 실제 값은 매우 작다(약 4.0×10^-7 J/m^3).
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