개념 한 쪽
승강기기사 라플라스변환 — 전달함수와 안정성 판별
라플라스변환은 제어계 해석에서 입력과 출력의 관계를 주파수영역으로 표현하게 해 주는 도구이다. 전달함수는 초기조건이 0일 때 출력의 라플라스 변환을 입력의 라플라스 변환으로 나눈 비로 정의한다. 시스템 안정성은 특성방정식의 근이 복소평면에서 어디에 위치하는지로 판별한다.
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뜻
전달함수는 시스템 입력과 출력 사이의 관계를 주파수 영역에서 간결하게 표현하는 개념이다. 정의상 모든 초기조건을 0으로 가정한 상태에서 출력의 라플라스 변환을 입력의 라플라스 변환으로 나눈 값이 전달함수이다. 따라서 전달함수의 정의에는 반드시 '초기조건 0'이라는 전제가 포함된다.
시스템의 동특성은 전달함수의 분모인 특성방정식의 근으로 결정된다. 특성방정식의 근이 복소평면에서 실수부가 음수인 좌반면에 모두 위치하면 시스템 응답은 시간이 지남에 따라 감쇠하므로 계는 안정하다고 판별한다. 반대로 우반면에 근이 있으면 응답이 발산하여 불안정하다. 실수축 위 근은 조건부 안정 또는 불안정 성질을 보일 수 있다.
이러한 판별 기준은 제어계의 설계와 해석에서 핵심 역할을 한다. 전달함수로 시스템을 표현하면 극점(분모의 근)과 영점(분자의 근)을 분석하여 제어기의 설계 방향을 정할 수 있다. 안정성 판단은 극점의 위치만으로 가능하므로 해석을 단순화하는 장점이 있다.
라플라스변환 자체의 수학적 과정은 이 카드의 재료에서 구체적으로 다루지 않으므로, 여기서는 전달함수 정의와 특성방정식 근의 위치에 따른 안정성 판별 원리에 중심을 둔다. 전달함수 정의와 좌반면=안정 규칙을 명확히 이해하는 것이 우선이다.
예제
전달함수 정의 적용 예: 어떤 시스템에서 입력의 라플라스 변환이 U(s), 출력의 라플라스 변환이 Y(s)이고 초기조건이 모두 0이라면 전달함수 G(s)는 G(s)=Y(s)/U(s)로 정의된다. 초기조건이 0이라는 조건을 놓치면 G(s)의 정의가 성립하지 않거나 오해가 발생할 수 있다.
안정성 판별 예: 어떤 시스템의 특성방정식 근이 s=-2, s=-1±j3 이면 모든 근의 실수부가 음수이므로 계는 안정하다. 반대로 근의 하나가 s=0.5이면 우반면 근이 존재하므로 계는 불안정하다.
자주 묻는 물음
- 전달함수를 정의할 때 반드시 고려해야 할 조건은 무엇인가?
- 전달함수는 초기조건을 모두 0으로 두었을 때의 출력 라플라스 변환과 입력 라플라스 변환의 비로 정의된다는 점을 반드시 고려한다.
- 특성방정식의 근이 복소평면 좌반면에 있으면 시스템은 어떤 특징을 보이나?
- 좌반면에 모든 근이 위치하면 시스템 응답이 시간이 지남에 따라 감쇠하므로 계는 안정하다고 판별한다.
- 허수축 위에 근이 있거나 실수축에 있는 근은 어떻게 해석하나?
- 허수축 위나 실수축 위의 근은 조건부 안정 또는 특정 입력에 대해 진동이나 임계상태를 유발할 수 있으므로 해석 시 추가 조건과 초기조건을 검토해야 한다.
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