개념 한 쪽
토목산업기사 단면계수 — Z와 휨응력 관계
단면계수는 부재가 휨모멘트에 대해 발생하는 응력을 견디는 능력을 나타내는 지표로서 휨설계 문제의 핵심이 된다. 허용응력 설계에서는 필요 단면계수를 휨모멘트와 허용응력의 비로 구하고, 휨응력 계산에서는 휨모멘트를 단면계수로 나누어 구한다. 실전 문제는 단위 환산과 식의 올바른 적용으로 정답을 유도한다.
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뜻
단면계수 Z는 휨응력 σ와 휨모멘트 M의 관계식 σ = M / Z로 정의되는 단면의 기하학적·역학적 성질의 지표이다. 같은 휨모멘트가 작용할 때 Z가 크면 발생하는 휨응력은 작아지므로 충분한 Z를 확보하는 것이 설계의 목적이 된다.
허용응력 설계에서는 필요 단면계수를 Z_req = M / f_allowed 형태로 계산한다. 주어진 휨모멘트와 허용압축응력 또는 허용인장응력을 같은 단위로 환산하여 대입한 뒤, 보기 중에서 Z가 이 값 이상인 단면을 선택하면 된다.
실무형 계산에서 단위 환산이 중요하다. 예를 들어 tonf·m을 kgf·cm로 변환하거나 kN·m을 N·mm로 변환할 때 지수 변환을 정확히 적용해야 하며, 단면계수의 단위가 cm³ 또는 mm³일 때의 변환 계수 차이를 주의해야 한다.
단면계수 관련 문제는 두 가지 관점으로 출제된다. 하나는 주어진 모멘트와 허용응력으로 필요한 Z를 산정하여 표준형강 중 적절한 단면을 고르는 문제이며, 다른 하나는 주어진 Z로부터 하연 등 특정 점의 휨응력을 σ = M / Z로 직접 계산하는 문제이다.
예제
예 1) 허용압축응력 fca가 1,200 kgf/cm²로 주어지고 휨모멘트 M = 18 tonf·m일 때 필요 단면계수 Z를 구하면, 단위를 통일하여 M = 1,800,000 kgf·cm가 되므로 Z_req = 1,800,000 ÷ 1,200 = 1,500 cm³이 된다. 따라서 선택지는 1,500 cm³ 이상인 표준 I형강을 고르면 된다.
예 2) 단면계수 Z = 1,200 cm³인 I형강에 M = 102 kN·m이 작용할 때 하연의 휨응력 σ는 σ = M / Z 공식을 적용하여 계산한다. 단위를 통일하면 M = 102 × 10^6 N·mm, Z = 1,200 × 10^3 mm³가 되므로 σ = (102×10^6) / (1,200×10^3) = 85 MPa가 된다.
자주 묻는 물음
- 단면계수로 무엇을 알 수 있나?
- 단면계수 Z는 같은 휨모멘트에 대해 발생하는 휨응력의 반비례 척도로, Z가 크면 동일 모멘트에서 응력이 작아진다. 설계에서는 요구되는 응력 한계와 비교하여 최소 Z를 결정한다.
- 단위 환산에서 흔히 실수하는 부분은 무엇인가?
- 톤·미터나 kN·m을 응력 단위에 맞추려면 kgf·cm 또는 N·mm로 정확히 변환해야 하며, 특히 cm³와 mm³ 사이의 10^3 배 차이를 놓치지 않아야 한다.
- Z로부터 특정 점의 휨응력을 구할 때의 기본 공식은 무엇인가?
- 기본 공식은 σ = M / Z이며, 계산 전 모든 물리량을 동일한 단위계로 통일하는 것이 필수이다.
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