개념 한 쪽
비례요소 단원은 소자의 s영역 표현과 과도현상의 기준값을 함께 다룬다. 콘덴서와 코일의 임피던스를 라플라스 영역에서 구하고, RL·RC·RLC 회로의 시정수와 임계 조건을 계산한다.
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출제기준 단원 「비례요소」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| RLC 임계진동 저항 | 1 | 직렬 RLC에서 임계감쇠를 만족하는 저항값 계산 |
| 코일 인덕턴스와 시정수 | 1 | 권수·자속·전류로 L을 구한 뒤 τ 계산 |
| 시정수 두 단계 계산 | 1 | 주어진 코일 자료에서 L=NΦ/I와 τ=L/R 적용 |
라플라스 변환에서 시간 영역의 적분은 1/s를 곱하는 것과 같다. 콘덴서의 전압·전류 관계 v=(1/C)∫i dt를 s영역으로 옮기면 V(s)=I(s)/(sC)가 된다. 임피던스는 Z=V/I이므로 콘덴서의 s영역 임피던스는 1/(sC)이다. 코일은 sL로 나타내고, 콘덴서는 1/(sC)로 나타낸다.
RL 직렬회로의 시정수는 τ=L/R이다. RC 직렬회로의 시정수는 τ=RC이다. 시정수는 과도 현상이 진정되는 시간의 척도이고, τ가 크면 응답이 느리다. RC에서 τ가 클수록 과도 전류는 천천히 사라진다.
코일의 인덕턴스는 L=NΦ/I로 구한다. 권수 N, 자속 Φ, 전류 I가 주어지면 L을 먼저 계산하고 τ=L/R에 대입한다. 예를 들어 N=1000, Φ=3×10⁻² Wb, I=10 A이면 L=3 H이고 R=20 Ω일 때 τ=0.15 s이다.
RLC 직렬회로의 임계진동 조건은 R=2√(L/C)이다. L=8×10⁻³ H, C=2×10⁻⁷ F이면 L/C=4×10⁴이고 √(L/C)=200이므로 R=400 Ω이다. √(L/C)까지만 계산한 200 Ω은 2를 곱하지 않은 값이라 구분한다. LC 직렬회로에 직류 기전력 E를 갑자기 인가하면 콘덴서 전압은 0과 2E 사이를 진동하고 최대 전압은 2E이다.
RL 직렬회로의 과도전류는 i=I(1−e^(−t/τ))로 나타낸다. t=τ에서 약 63.2%, 2τ에서 약 86%, 3τ에서 약 95%, 4τ에서 약 98%, 5τ에서 약 99.3%에 도달한다. 정상전류의 70% 도달 시각은 e^(−t/τ)=0.3에서 t≈1.2τ이다.
RLC 직렬회로에서 임계진동을 묻고 √(L/C)만 계산한 값을 함정으로 둔다. 시정수 문제는 NΦ/I로 L을 구한 뒤 R로 나누는 두 단계를 요구하고, N을 누락하거나 R을 곱한 값을 오답으로 배치한다. 콘덴서의 s영역 임피던스를 묻는 문항은 전류 파형과 무관하게 1/(sC)를 고르게 하고, sC를 어드미턴스 형태의 함정으로 둔다. RL 과도응답에서는 τ 배수별 도달률과 70% 도달 시각 1.2τ를 함께 구분한다.
R-L-C 직렬회로에서 L=8×10⁻³[H], C=2×10⁻⁷[F]이다. 임계진동이 되기 위한 R 값은?
정답 ④ · 문제는 직렬 R-L-C 회로가 임계감쇠(임계진동) 상태가 되기 위한 저항값을 구하는 것이다. 임계감쇠 조건은 R = 2·√(L/C) 이므로 L/C = (8×10⁻³)/(2×10⁻⁷) = 4×10⁴, √(L/C) = 200이고 R = 2×200 = 400[Ω]가 된다.
임계진동(임계감쇠) 조건은 R=2√(L/C)이므로 2×200=400Ω이다.
코일의 권수 N＝1000, 저항 R＝20[Ω]이다. 전류 I＝10[A]이 흐를 때, 자속 ø＝3×10⁻²[Wb]이다. 이 회로의 시정수[s]는 얼마인가?
정답 ① · RL 회로의 시정수 τ는 인덕턴스 L을 저항 R으로 나눈 값(L/R)입니다. 주어진 값 L=0.045H, R=20옴을 대입하면 τ = 0.045 / 20 = 0.0025초입니다.
시정수 τ=L/R이고, L=NΦ/I=1000×0.03/10=3H이므로 τ=3/20=0.15s.
권수 N = 2000회, 저항 R = 10[Ω]인 어떤 자계코일에 전류 I = 10[A]를 흘렸을 때 자속이 6×10⁻²이다. 이회로의 시정수는?
정답 ② · 문제는 코일의 권수, 저항, 전류, 자속이 주어질 때 회로의 시정수를 구하는 문제이다. 인덕턴스는 L = NΦ / I 이므로 L = 2000 × 6×10⁻² / 10 = 12 H이고 시정수 τ = L / R = 12 / 10 = 1.2 s가 된다.
시정수 τ=L/R이고 L=NΦ/I=12[H]이므로 τ=12/10=1.2[s]이다.
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