개념 한 쪽
코일이나 콘덴서가 들어 있는 회로에 전원을 갑자기 넣으면 전류와 전압이 곧바로 최종값이 되지 않고 지수함수 곡선을 그리며 다가간다. 이 변화의 빠르기를 재는 자가 시정수이고, 상승시간은 그 시정수를 기준으로 전류가 최종값의 몇 %에 언제 도달하는지를 따지는 개념이다.
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출제기준 단원 「상승시간」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 시정수 2단 계산 | 1 | 권수·자속·전류로 인덕턴스를 구해 시정수를 산출하기 |
| 시정수 배수별 도달률 | 1 | 2τ 시점 전류가 최종값의 몇 %인지 가리기 |
| 임계진동 저항값 | 1 | RLC 직렬회로에서 임계감쇠가 되는 저항을 계산하기 |
과도 현상이란 스위치를 닫거나 열 때 전류와 전압이 새로운 안정 상태에 도달하기까지 나타나는 일시적 변화다. 시정수 τ는 이 변화의 빠르기를 나타내는 척도다. RL 직렬회로에서는 τ = L/R[s]이고, RC 직렬회로에서는 τ = RC다.
RL 직렬회로에 직류전압을 인가하면 전류는 i = I(1 − e^(−t/τ))를 따라 서서히 증가한다. 여기서 I는 최종값 E/R이다. 시정수가 클수록 곡선이 완만해져 정상값에 늦게 도달한다.
시간이 시정수의 몇 배가 되는지에 따라 도달률이 정해진다. 1τ에서 약 63.2%, 2τ에서 약 86.5%, 3τ에서 약 95%, 4τ에서 약 98%, 5τ에서 약 99.3%에 이른다. 이 도달률 표가 상승시간 문제의 뼈대다.
RC 회로에서는 충전과 방전을 구분해야 한다. 충전 시 전압은 1 − e^(−t/RC)를 따라 올라가 1τ에서 0.632V₀가 되고, 방전 시에는 e^(−t/RC)를 따라 내려가 1τ에서 0.368V₀가 남는다. 충전과 방전의 값을 뒤바꾸는 것이 대표적 함정이다.
도달률이 표에 없는 값이면 식을 직접 푼다. 정상전류의 70%에 도달하는 시간은 0.7 = 1 − e^(−t/τ)에서 e^(−t/τ) = 0.3이 되고, −ln0.3 ≈ 1.2이므로 t ≈ 1.2τ다.
권수와 자속, 전류가 주어지면 인덕턴스를 먼저 구한다. L = NΦ/I에 값을 넣고 τ = L/R에 대입하는 두 단계 순서를 지킨다. L 값을 그대로 답으로 적거나 저항을 곱하는 실수가 오답을 만든다.
RC 방전에서 남은 전압 비율이 주어지면 90 = 100·e^(−t/RC)처럼 식을 세우고 양변에 자연로그를 취해 정전용량을 구한다. 역수 관계를 뒤집으면 1.05F 같은 값이 나온다.
RLC 직렬회로의 임계진동 조건은 R = 2√(L/C)다. 루트 값만 계산하고 앞의 2를 곱하지 않으면 절반 크기의 오답을 고르게 된다.
R-L-C 직렬회로에서 L=8×10⁻³[H], C=2×10⁻⁷[F]이다. 임계진동이 되기 위한 R 값은?
정답 ④ · 문제는 직렬 R-L-C 회로가 임계감쇠(임계진동) 상태가 되기 위한 저항값을 구하는 것이다. 임계감쇠 조건은 R = 2·√(L/C) 이므로 L/C = (8×10⁻³)/(2×10⁻⁷) = 4×10⁴, √(L/C) = 200이고 R = 2×200 = 400[Ω]가 된다.
임계진동(임계감쇠) 조건은 R=2√(L/C)이므로 2×200=400Ω이다.
코일의 권수 N＝1000, 저항 R＝20[Ω]이다. 전류 I＝10[A]이 흐를 때, 자속 ø＝3×10⁻²[Wb]이다. 이 회로의 시정수[s]는 얼마인가?
정답 ① · RL 회로의 시정수 τ는 인덕턴스 L을 저항 R으로 나눈 값(L/R)입니다. 주어진 값 L=0.045H, R=20옴을 대입하면 τ = 0.045 / 20 = 0.0025초입니다.
시정수 τ=L/R이고, L=NΦ/I=1000×0.03/10=3H이므로 τ=3/20=0.15s.
권수 N = 2000회, 저항 R = 10[Ω]인 어떤 자계코일에 전류 I = 10[A]를 흘렸을 때 자속이 6×10⁻²이다. 이회로의 시정수는?
정답 ② · 문제는 코일의 권수, 저항, 전류, 자속이 주어질 때 회로의 시정수를 구하는 문제이다. 인덕턴스는 L = NΦ / I 이므로 L = 2000 × 6×10⁻² / 10 = 12 H이고 시정수 τ = L / R = 12 / 10 = 1.2 s가 된다.
시정수 τ=L/R이고 L=NΦ/I=12[H]이므로 τ=12/10=1.2[s]이다.
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