전기공사기사 근궤적 — 출발점과 실수축 구간

근궤적은 이득 K가 0에서 커질 때 폐루프 특성방정식의 근이 어디서 어디로 움직이는지를 그린 궤적이다. 출발점은 열린루프의 극점이고, 도착점은 영점이거나 무한원이다. k=0이면 이득 항이 사라져 열린루프 다항식의 근이 남으므로, (s+1)(s+2)(s+3)+k(s+4)=0에서 k=0인 점은 −1, −2, −3이다.

근궤적의 수는 개루프 전달함수의 극점 수와 같다. G(s)H(s)=K(s+1)/{s(s+2)(s+3)}은 분모의 극점이 세 개라 근궤적도 세 개이고, K/{s²(s+1)²}은 중복을 합해 극점이 네 개라 네 개다.

실수축에서 근궤적이 존재하는 구간은 그 점 오른쪽에 있는 극점과 영점의 수가 홀수인 구간이다. G(s)H(s)=K(s+1)/{s(s+2)}에서는 0과 −1 사이, 그리고 −2보다 작은 쪽이 조건을 만족한다. 0과 −1 사이는 오른쪽에 극점 하나, −2보다 작은 쪽은 극점 둘과 영점 하나로 셋이 된다.

실수계수를 갖는 특성방정식에서는 복소근이 항상 켤레로 나타난다. 그래서 근궤적은 실수축에 대하여 좌우대칭이다.

근궤적이 허수축과 교차하면 폐루프 극점이 순수 허수축 위에 있는 상태다. 출력이 계속 진동만 하고 감쇠하지도 폭주하지도 않는 임계상태, 곧 한계안정이다.

보상기에서 원래 시스템에 극점을 첨가하면 시스템은 불안정해지는 방향으로 움직이기 쉽다. 진동이나 느린 응답이 생겨 안정성이 떨어진다.

이득 같은 파라미터가 변할 때 특성방정식 근의 움직임으로 안정도를 판별하는 방법이 근궤적법이다. 시간영역에서 제어계를 설계할 때도 근궤적법으로 폐루프 극점을 어디에 배치할지 결정하는 방식이 흔히 쓰인다.