개념 한 쪽
전기공사기사 Nyquist 안정도 판별법 — 후르비쯔 표와 포위 판정
Nyquist 안정도 판별법 세트는 후르비쯔 방법으로 4차 계의 안정을 판별하는 문제, 5차·4차 특성방정식에서 K의 범위, Routh 표의 첫열 조건, 안정한 특성방정식 고르기, 나이퀴스트 경로가 포위하는 영역에 근이 없을 때의 판정, 불안정한 근의 수를 묻는다.
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뜻
후르비쯔 방법도 특성방정식의 계수로 표를 만들어 첫열의 부호를 보는 판별법이다. 첫열이 모두 양수이면 안정하고, 부호가 바뀌면 오른쪽 반평면의 근이 그 횟수만큼 있다. 예를 들어 s⁴+2s³+5s²+4s+2는 첫열이 모두 양수라 안정하고, s⁴+2s³+s²+4s+2는 부호가 바뀌어 불안정하다.
K가 들어간 문제는 각 행의 첫 항이 양수가 되는 조건을 모두 모은다. s³+2s²+(k+3)s+10에서는 s¹행 첫 값이 k−2이므로 k>2일 때 안정하다. s³+4s²+2s+K에서는 4×2>K와 K>0을 함께 만족해야 하므로 0<K<8이다. 5차·4차식에서는 표를 끝까지 만들어 첫열 조건을 연립해 K가 놓여야 하는 구간을 찾는다.
나이퀴스트 판정은 주파수 응답 궤적이 평면의 한 점을 몇 번 감싸는지를 보는 방법이다. 나이퀴스트 경로가 포위하는 영역에 특성방정식의 근이 존재하지 않으면 그 제어계는 안정하다.
특성방정식의 모든 근이 복소평면의 좌반면에 있으면 해가 시간이 흐르며 0으로 수렴하므로 안정하다. 불안정한 근의 수는 Routh 표 첫열의 부호 변화 횟수로 센다. s⁵+3s⁴+2s³+2s²+3s+1의 첫열은 1, 3, 4/3, −4, 3, 1이므로 부호가 두 번 바뀌어 불안정한 근이 2개다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 안정 판정형 — 후르비쯔 표의 첫열 부호만 본다. ② 범위 계산형 — 각 행 첫 항의 양수 조건을 연립한다. s³+2s²+(k+3)s+10이면 k>2, s³+4s²+2s+K이면 0<K<8이다. ③ 개념형 — 포위 영역에 근이 없으면 안정, 좌반면의 근은 안정이다.
자주 묻는 물음
- 나이퀴스트 경로가 포위하는 영역에 특성방정식의 근이 없으면?
- 그 제어계는 안정합니다.
- s³+2s²+(k+3)s+10이 안정하기 위한 k의 범위는?
- s¹행 첫 값이 k−2이므로 k가 2보다 커야 합니다.
- 불안정한 근의 수는 어떻게 세는가?
- Routh 표 첫열의 부호가 바뀐 횟수를 셉니다. 그 횟수만큼 오른쪽 반평면에 근이 있습니다.
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