전기공사기사 Routh-Hurwitz 안정도 판별법 — 첫열 부호와 K의 범위

Routh 방법은 특성방정식의 계수만으로 표를 만들고 첫열이 모두 양수인지 확인하는 판별법이다. 첫열에 음수가 나오면 불안정하고, 부호가 바뀐 횟수만큼 오른쪽 반평면에 불안정한 근이 있다.

3차 특성방정식 s³+a₂s²+a₁s+a₀에서는 첫열 조건이 a₂>0, a₁>0, a₀>0과 a₂a₁>a₀로 정리된다. s³+2s²+Ks+10이면 2K>10이므로 K>5일 때 안정하다. s³+3s²+3s+1+K이면 3×3>1+K에서 K<8이고, 상수항 조건 1+K>0에서 K>−1이므로 −1<K<8이다.

4차 이상은 표를 직접 만들어 첫열을 본다. 2s⁴+10s³+11s²+5s+K에서는 s²행 첫 값이 10, s¹행 첫 값이 5−K, s⁰행이 K이므로 K>0과 K<5를 함께 만족해야 안정하다.

모든 근이 복소평면의 허수축 위에 있으면 출력이 감쇠하지도 폭주하지도 않고 계속 진동하는 임계안정 상태다. 반대로 전달함수의 분모 근이 모두 음의 실수부를 가지면 안정하다. G(s)=s/((s+2)(s²+2s+2))는 극점이 −2와 −1±j이므로 모두 음의 실수부라 안정하다.

계수에 음수가 있으면 Routh 표를 만들기 전에 이미 불안정이 확정되는 경우가 있다. Ks³+s²−2s+5는 어떤 K를 넣어도 한 칸에서 음수가 나와 항상 불안정하다.