개념 한 쪽
구면삼각형은 구의 표면에 그린 삼각형으로 세 각의 합이 평면 삼각형과 달리 180°를 초과한다는 성질을 가진다. 이 초과분을 구과량이라 하고, 구과량과 반지름의 관계를 이용해 면적을 계산하거나 면적으로부터 구과량을 구한다는 계산 패턴이 자주 출제된다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기 회원용
가입 없이 오늘의 10문제 바로 풀기 →
출제기준 단원 「구면삼각형」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 면적에서 구과량 계산 | 1 | 주어진 면적과 반지름으로 구과량(라디안·초) 계산하기 |
| 면적·반지름으로 초 단위 환산 | 1 | 큰 단위 면적과 지구반지름으로 구과량을 초(″)로 환산하기 |
| 내각합으로 면적 계산 | 1 | 관측된 세 각의 합으로 구과량을 구해 면적으로 환산하기 |
구면삼각형은 구면 위에서 정의되는 삼각형이며 세 변은 대원의 호로 이루어진다. 평면 삼각형과 달리 세 내각의 합은 180°보다 크고, 그 초과분을 구과량(구면초과, E)이라고 부른다.
구과량은 구면삼각형의 면적에 정비례하며 반지름의 제곱에 반비례한다는 관계가 성립한다. 반지름 R인 구에서 구과량 E(라디안)는 면적 S를 R²로 나눈 값으로 주어지며, 공식은 E = S / R²이다.
구면삼각형의 면적은 구과량을 라디안 단위로 환산한 뒤 반지름 제곱을 곱하여 구한다는 점을 기억한다. 즉 면적 S = E(라디안) × R²가 성립한다.
구과량을 시험에서 다룰 때는 라디안과 초(″) 단위 간 환산을 자주 요구하므로 1라디안 ≈ 206,265″라는 계수를 이용해 초 단위로 환산하는 절차를 익혀야 한다. 또한 분(′)·초(″)로 주어진 각도의 초과분을 먼저 초 또는 도로 정리한 뒤 라디안으로 바꾸는 계산 절차를 일관되게 적용해야 오답을 피할 수 있다.
반지름이 2m인 구면에서 면적이 0.213m²인 구면삼각형의 구과량을 구하는 대표 계산은 다음 절차로 한다. 우선 라디안 단위의 구과량 E = 면적 ÷ R² 이므로 E = 0.213 ÷ 2² = 0.05325 rad이다. 이 라디안 값을 초(″)로 환산하려면 206,265를 곱하여 약 10,984″가 되고, 이를 3600으로 나누면 약 3.05° 즉 3° 03′ 04″가 된다. 이 과정에서 R² 대신 R을 쓰거나 라디안→초 환산을 빠뜨리면 다른 값이 되므로 주의해야 한다.
반지름 2m인 구면상의 구면삼각형 면적이 0.213m²일 때 이 구면삼각형의 구과량은?
정답 ③ · 구면삼각형의 넓이(E)와 구과량(ε) 사이의 관계는 E = (π × R² × ε) / 180° 입니다. 주어진 값에서 넓이 E = 0.213m², 반지름 R = 2m입니다.
구면삼각형 구과량은 ε=E/R²(라디안)이며, 206265″를 곱해 초(″) 단위로 환산한다.
구면 삼각형의 면적을 4525km², 지구의 곡률반경을 6370Km라고 할 때 구과량은?
정답 ③ · 구면 삼각형의 내각의 합은 180도가 넘으며, 그 초과분을 구면과잉(E)이라고 합니다. 구면과잉은 구면 삼각형의 면적(S)과 지구의 반지름(R)의 제곱에 비례하여 E = S / R² (라디안)의 공식으로 산출됩니다.
구과량(구면과잉)은 E=S/R²(라디안)에 206265″를 곱해 초(″) 단위로 구한다.
지표면상의 구면 삼각형 ABC의 3개의 각을 관측한 결과 ∠A=51˚30´, ∠B=65˚45´, ∠C=63˚35´이었다면 구면 삼각형의 면적은? (단, 지구반경 R=6370km 이며, 측각오차는 없는 것으로 간주한다.)
정답 ② · 구면 삼각형의 세 내각 관측값으로 구면과잉을 구하고 면적을 계산하는 문제이다. 먼저 세 내각의 합은 51도 30분 + 65도 45분 + 63도 35분 = 180도 50분이므로, 구면과잉 E = 180도 50분 - 180도 = 50분이다.
구면삼각형 면적 S = E·R²이며, 구면과잉 E = (내각의 합 − 180°)를 라디안으로 바꿔 대입한다.
측량및지형공간정보기사 풀이 세트에서 이 개념의 문제 10개를 바로 풀어 보세요.