개념 한 쪽
단면의 기하학적 성질은 구조부재의 강도와 좌굴 저항을 결정하고, 재료가 하중을 받을 때 늘어나는 양은 탄성계수와 단면적에 의해 결정된다. 시험에서는 단면 2차모멘트·단면계수·단면2차반경의 정의를 묻는 문제와 훅의 법칙을 이용한 변형량 계산 문제를 빈출로 다룬다.
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출제기준 단원 「응력도와 변형도」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 단면 용어 정의 판단 | 1 | 단면계수·2차반경·2차모멘트 정의의 옳고 그름을 가리기 |
| 인장 변형량 계산(tf·cm 단위) | 1 | 단위를 통일하여 훅의 법칙으로 늘어난 길이 계산하기 |
| 인장 변형량 계산(m·cm 단위) | 1 | 주어진 단위 변환 후 δ=PL/AE로 변형량 구하기 |
단면 2차반경(r)은 단면 2차모멘트(I)를 단면적(A)으로 나눈 값의 제곱근으로 정의된다. 수식으로는 r = √(I/A)이고, 이를 제곱하면 r² = I/A가 되어 I = r² × A 관계가 성립한다. 따라서 r과 A를 곱한 값이 I가 된다는 설명은 틀린 서술이다.
단면계수(Z)는 휨에 대한 저항을 나타내는 지표로 단면 2차모멘트 I를 도심에서 가장 바깥 섬유까지의 거리(c)로 나눈 값 Z = I/c로 정의한다. 단면계수가 클수록 동일한 휨모멘트에서 발생하는 응력은 작아지므로 휨저항성이 커진다. 단면계수의 단위는 길이의 세제곱(cm³, m³ 등)이며 부호는 항상 양수이다.
단면 1차모멘트는 면적과 도심까지의 거리를 곱해 얻는 값으로 Q = ∫y dA 형태로 정의되어 도심의 위치를 찾는 데 사용한다. 단면 1차모멘트와 단면 2차모멘트, 2차반경을 서로 혼동하지 않도록 정의를 명확히 구분해야 한다.
재료의 인장 변형량은 훅의 법칙에 의해 δ = PL / (A E)로 계산한다. 여기서 P는 축방향 하중, L은 원래 길이, A는 단면적, E는 탄성계수이다. 계산 전에 모든 단위를 탄성계수의 단위에 맞게 통일해야 하며, 단위 불일치가 가장 흔한 계산 실수의 원인이다.
흔한 오답 유형은 2차반경의 제곱에 면적을 곱하는 것을 1차모멘트와 혼동하거나, 훅의 법칙에서 단위 환산을 하지 않아 잘못된 수치를 대입하는 경우이다. 계산 문제에서는 탄성계수의 단위를 기준으로 모든 길이와 힘의 단위를 맞춘 후 공식을 적용하면 정답을 얻는다.
다음 중 단면의 성질에 관한 설명이 잘못된 것은?
정답 ① · 단면 2차 반경(Radius of Gyration, 단면회전반경)은 단면 2차 모멘트(I)를 단면적(A)으로 나눈 값의 제곱근(r = √(I/A))입니다. 즉, 단면 2차 반경의 제곱에 단면적을 곱해야 단면 2차 모멘트가 됩니다(I = r² × A).
단면 2차 반경(r)은 단면 2차 모멘트(I)를 단면적(A)으로 나눈 값의 제곱근이므로, I=r²A 관계가 성립합니다.
단면적이 10cm²이고, 길이는 2m 인 균질한 재료로 된 철근에 재축방향으로 10tf의 인장력을 작용시켰을 때 늘어난 길이는? (단, 탄성계수는 2.0×10⁶kgf/cm²)
정답 ② · 재료의 변형량을 구하는 훅의 법칙 공식은 'δ = PL / AE'입니다. 여기서 하중 P = 10tf = 10,000kgf, 길이 L = 2m = 200cm, 단면적 A = 10cm², 탄성계수 E = 2.0 × 10^6 kgf/cm² 입니다.
훅의 법칙 δ=PL/AE에 하중, 길이, 단면적, 탄성계수를 단위를 통일하여 대입하면 변형량은 0.1cm가 된다.
길이가 5m이고 단면적이 5cm²인 막대에 6tf의 축방향 인장력을 작용시켰을 때 늘어난 길이는? (단, 막대의 탄성계수 E = 2,100tf/cm²임)
정답 ② · 재료역학의 훅(Hooke)의 법칙에 따라 늘어난 길이(δ)는 (P × L) / (A × E) 로 구합니다. 인장력 P = 6tf, 길이 L = 500cm, 단면적 A = 5cm², 탄성계수 E = 2,100tf/cm²를 대입하면, δ = (6 × 500) / (5 × 2,100) = 3000 / 10500 = 약 0.2857cm가 됩니다.
훅의 법칙 δ=PL/AE에 값을 대입하면 늘어난 길이는 약 0.29cm가 된다.
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