개념 한 쪽
토압 이론은 옹벽 등 구조물에 작용하는 흙의 압력을 예측하는 이론 체계이다. 대표적으로 랭킨(Rankine) 이론과 쿨롱(Coulomb) 이론이 있으며, 벽면 마찰 유무와 지표 경사 등 조건에 따라 적용 방식이 달라진다. 토압 계수와 토압 계산 공식, 그리고 특수 조건에서 이론 간 일치 여부를 이해하는 것이 핵심이다.
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출제기준 단원 「토압 이론」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 토압 계수 크기 비교 | 1 | Ka, Ko, Kp의 상대적 크기 순서를 묻기 |
| Ka/Kp 비 계산 | 1 | 주동토압과 수동토압 계수의 비율을 계산하기 |
| 주동토압 수치 계산 | 1 | 랭킨 공식에 값을 대입하여 주동토압을 구하기 |
토압 계수는 흙이 벽체에 대해 발휘하는 압력의 크기를 나타내는 무차원 수치이다. 주동토압 계수(Ka)는 벽체가 흙으로부터 밀려나갈 때의 최소 압력, 수동토압 계수(Kp)는 벽체가 흙을 밀어넣을 때의 최대 저항을 의미한다. 정지토압 계수(Ko)는 벽체가 움직이지 않을 때의 중간값으로 위치한다.
랭킨 이론은 옹벽 뒤 흙의 마찰을 무시하고 벽체 뒷면을 매끄럽다고 가정한다. 이 가정 하에서 토압은 벽체면에 수직으로 작용하며 지표면과 평행한 방향으로 작용한다. 반면 쿨롱 이론은 벽체와 흙 사이의 마찰을 고려하는 보다 일반적인 이론이다.
특수 조건에서는 두 이론이 일치한다. 예컨대 지표가 수평하고 옹벽이 연직이며 벽체와 흙 사이의 마찰각이 0°이면 쿨롱 공식은 랭킨 공식과 수학적으로 동일하게 되어 계산 결과가 같다. 이 점은 문제에서 조건을 정확히 확인해야 함을 시사한다.
토압의 수치 계산에는 표준 공식이 사용된다. 랭킨 주동토압의 경우 Pa = 1/2 × γ × H² × Ka 공식을 적용하고, Ka는 내부마찰각 φ에 대해 (1−sinφ)/(1+sinφ)로 구한다. 또한 점착력과 마찰각을 포함하는 다른 응용식들(예: 인정균열 깊이 zo = 2c / (γ · tan(45° − φ/2)))이 실무 문제에 출제되므로 공식 형태와 변수 의미를 숙지해야 한다.
예1) 내부마찰각 φ=30°일 때 Ka와 Kp의 관계를 확인한다. sin30°=0.5이므로 Ka=(1−0.5)/(1+0.5)=1/3, Kp는 그 역수로 3이 된다. 따라서 Ka/Kp=(1/3)/3=1/9가 된다.
예2) 높이 H=5m, 단위중량 γ=1.7t/m³, φ=30°인 사질토에서 주동토압 Pa를 계산한다. Ka=1/3을 사용하여 Pa=0.5×1.7×5²×(1/3)=0.5×1.7×25×1/3≈7.08t/m가 된다.
예3) 점착력 c=0.4t/m², γ=1.6t/m³, φ=30°일 때 인정균열 깊이 zo를 구한다. tan(45°−φ/2)=tan30°≈0.577이므로 zo=2c/(γ·tan(45°−φ/2))=0.8/(1.6×0.577)≈0.87m가 된다.
주동토압 계수를 KA,수동토압계수를 Kp, 정지토압계수를 Ko라 할 때 그 크기의 순서가 맞는 것은?
정답 ② · 토압 계수의 크기 관계는 흙의 벽체 이동 조건에 따라 결정됩니다. 흙이 벽체 쪽으로 밀리면서 발생하는 수동토압계수(Kp)가 가장 크고, 벽체가 흙쪽으로 이동하여 발생하는 주동토압계수(Ka)가 가장 작습니다.
토압 계수 크기는 수동(Kp) > 정지(Ko) > 주동(Ka) 순서이며, 이는 벽체의 이동 방향과 변위 크기에 기인한다.
지표가 수평인 연직 옹벽에 있어서 주동토압 계수와 수동토압 계수의 비는? (단, 흙의 내부 마찰각은 30° 이다.)
정답 ④ · 주동토압 계수 Ka와 수동토압 계수 Kp는 랭퀴나(Rankine) 토압 이론에 따라 Ka = (1-sinφ)/(1+sinφ), Kp = (1+sinφ)/(1-sinφ)으로 계산됩니다. 내부 마찰각 φ이 30°일 때, sin 30° = 0.5입니다.
Rankine 이론에 따라 Ka=1/3, Kp=3이므로 주동토압 계수 대 수동토압 계수의 비는 1/9가 된다.
다음 중에서 정지토압 Po, 주동토압 PA, 수동토압 Pp의 크기 순서가 옳은 것은 어느 것인가?
정답 ④ · 토압 이론에 따르면 토체가 수동 상태일 때(벽이 흙 쪽으로 밀릴 때) 토압이 가장 크고, 정지 상태일 때가 중간, 주동 상태일 때(벽이 흙에서 멀어질 때) 토압이 가장 작습니다. 따라서 크기 순서는 수동토압(Pp) > 정지토압(Po) > 주동토압(PA)입니다.
토체는 수동 상태(밀릴 때)가 가장 큰 저항력을, 주동 상태(밀려날 때)가 가장 작은 토압을 발생시킨다.
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