개념 한 쪽
작업환경에서 측정한 농도나 오차를 해석할 때 기하평균과 누적오차 계산법을 정확히 알고 적용해야 한다. 기하평균은 편차가 큰 농도 자료의 대표값으로 쓰이며, 독립 오차의 누적은 루트-합-제곱(RSS) 방식으로 계산한다. 변이계수는 데이터의 상대적 산포를 판단하는 지표로 사용한다.
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출제기준 단원 「자료의 분포」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 기하평균 계산 | 1 | 주어진 농도값들의 기하평균을 구하는 절차와 계산 결과 제시 |
| 기하평균 판별 | 1 | 여러 값의 기하평균을 구하는 식과 산술평균과의 차이점을 판별 |
| 독립 오차 누적 계산 | 1 | 서로 독립적인 오차들의 누적을 RSS 방식으로 계산하여 제시 |
기하평균은 주어진 n개의 값을 모두 곱한 다음 그 결과에 1/n 제곱(즉 n제곱근)을 취해 구하는 평균이다. 농도나 비율처럼 곱셈적 성질을 가지거나 분포가 치우친 데이터에 적합하며, 극단값의 영향을 산술평균보다 덜 받는다. 수식으로는 (Πxi)^(1/n)으로 표현한다.
독립적으로 발생하는 여러 측정 오차의 누적은 단순 합이 아니라 각 오차의 제곱을 더한 뒤 그 합의 제곱근을 취하는 루트-합-제곱(RSS, Root Sum Square) 방식을 따른다. 이 방식은 오차 요인들이 서로 독립적이라는 가정에서 통계적으로 전체 불확도를 평가하는 표준 방법이다.
변이계수(CV)는 표준편차를 산술평균으로 나눈 뒤 100을 곱하여 백분율로 표현한 값으로, 단위가 다른 데이터나 평균값의 크기에 상대적인 분산 정도를 비교할 때 사용한다. 정의식은 CV(%) = (표준편차 ÷ 산술평균) × 100이다.
이들 개념은 작업환경측정 및 결과 해석에서 자주 결합되어 사용된다. 예컨대 농도 자료가 치우쳐 있으면 기하평균을 대표값으로 보고, 측정 과정의 여러 독립적 오차를 합산할 때는 RSS 공식을 적용하며, 여러 집단의 상대적 변동성을 비교할 때는 변이계수를 사용한다.
기하평균 예: 어느 작업장에서 분진농도를 2.3, 2.2, 3.3, 2.5, 5.2 mg/m³로 측정하였을 때 기하평균은 다섯 값을 모두 곱한 뒤 5제곱근을 취한다. 값들의 곱이 약 217.624 이므로 5제곱근을 취하면 약 2.93 mg/m³가 된다고 본다. 계산기는 곱한 값에 0.2승을 적용하거나 로그 평균을 이용해 역로그를 취하는 방법을 쓸 수 있다.
누적오차 예: 시료 채취와 분석 과정의 항목별 오차, 예컨대 흡입량 10%, 채취 시간 5%, 회수율 11%, 분석오차 4%인 경우 누적오차는 RSS 방법으로 계산한다. 각 오차를 제곱하면 100, 25, 121, 16이고 이들의 합은 262이다. 이 합의 제곱근을 취하면 약 16.18%이므로 반올림하면 16.2%가 되는 것으로 계산한다.
한 작업장의 분진농도를 측정한 결과, 2.3, 2.2, 2.5, 5.2, 3.3mg/m³이였다. 이 작업장 분진농도의 기하평균 값은?
정답 ② · 기하평균은 n개의 값의 곱에 n제곱근을 취한 값입니다. 주어진 값 2.3, 2.2, 2.5, 5.2, 3.3을 모두 곱하면 약 217.624이며, 이의 5제곱근을 계산하면 약 2.93mg/m3가 됩니다.
기하평균은 모든 데이터의 곱에 데이터 개수의 제곱근을 취한 값으로, 치우친 데이터의 대표값에 적합합니다.
목재공장의 작업환경 중 분진농도를 측정하였더니 5, 7, 5, 7, 6, 7 ppm이었다. 기하평균은?
정답 ① · 기하평균(GM)은 n개의 데이터 값을 모두 곱한 뒤 n의 제곱근을 취하여 구합니다. 주어진 값 5, 7, 5, 7, 6, 7의 기하평균은 GM = (5 × 7 × 5 × 7 × 6 × 7)^(1/6) 입니다.
공기 흡입유량, 측정시간, 회수율 및 시료분석 등에 의한 오차가 각각 10%, 5%, 11% 및 4%일 때의 누적오차는?
정답 ③ · 각 측정 단계에서 발생하는 개별 오차들이 독립적으로 결합될 때의 누적오차는 각 오차 제곱의 합의 제곱근을 구하는 방식(루트-합-제곱, root-sum-square)을 사용하여 계산합니다. 계산식은 √(10² + 5² + 11² + 4²) = √(100 + 25 + 121 + 16) = √262 입니다.
독립적인 오차의 누적은 각 오차의 제곱을 더한 후 제곱근을 취하는 루트-합-제곱(RSS) 방식으로 계산한다.
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