개념 한 쪽
단곡선(원곡선)의 설계와 계산에서 자주 쓰이는 기본식들을 정리한다. 접선장, 중앙종거, 외할, 곡선장, 종단현 등 주요 치수는 반지름과 교각의 관계로 유도되며, 각 식은 삼각함수 또는 라디안 변환을 통해 계산한다.
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출제기준 단원 「기본공식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 접선장 공식 적용 | 1 | R과 I 주어질 때 접선장 계산법을 적용해 수치 구하기 |
| 종점거리 합산 판단 | 1 | 기점부터 곡선 종점까지 거리 계산 시 접선장·곡선장 중 어떤 요소를 더하는지 판별하기 |
| 중앙종거 수치 계산 | 1 | R과 I 주어질 때 중앙종거 공식을 이용해 거리 계산하기 |
접선장(T.L.)은 교점(PI)에서 곡선의 시작점(BC) 또는 끝점(EC)까지의 수평거리이며, 반지름 R과 교각 I를 이용하여 T.L. = R × tan(I/2)로 구한다. 기하학적 유도는 교점에서 반지름과 접선이 이루는 직각삼각형의 탄젠트 비로 설명한다.
중앙종거(M 또는 M.I)는 곡선의 중점에서 현의 중점까지의 수직거리를 의미하며, 반지름과 교각의 절반 각도의 코사인을 이용하여 M = R × (1 - cos(I/2))로 계산한다. 이 값은 곡선의 볼록도와 관련된 치수로 곡선 배치에 사용한다.
외할(E)은 반지름과 교각의 절반 각도의 시컨트(sec)를 이용하여 E = R × (sec(I/2) - 1)로 표현한다. 시컨트는 코사인의 역수이므로 계산 시 sec θ = 1 / cos θ 관계를 적용한다.
곡선장(L)은 반지름과 중심각(라디안)의 곱으로 L = R × θ(rad)로 계산한다. 도 단위의 교각 I(도)를 사용할 때는 라디안 변환 θ = πI/180을 적용한다. 또한 종단현(현의 길이)은 중심각을 이용해 M_chord = 2R × sin(I/2)로 구할 수 있다.
각 공식을 적용할 때는 먼저 교각을 반으로 나누어 해당 삼각함수 값을 구하고, 필요하면 도-라디안 변환을 정확히 수행해야 한다.
1) 접선장 계산 예시: 반지름이 150m이고 교각이 60°이면 I/2 = 30°이며 tan 30° ≈ 0.5774이므로 T.L. = 150 × 0.5774 ≈ 86.60m가 된다.
2) 중앙종거 계산 예시: 반지름 R = 300m, 교각 I = 38°20'이면 I/2 = 19°10'이며 cos 19°10' 값을 이용하면 M = 300 × (1 - cos 19°10') ≈ 16.63m가 된다.
이런 계산 문제에서는 각을 절반으로 나누어 삼각함수 값을 구하고, 공식을 바로 대입하는 순서로 풀어야 실수를 줄인다.
단곡선 설치에서 기점에서 부터 곡선 시점까지의 거리가 279.32m 일 때 기점으로 부터 곡선 종점까지의 거리는 얼마인가? (단, I = 54° 12′ , R = 300m임)
정답 ④ · 단곡선의 요소를 계산하기 위하여 접선길이 TL을 구하는 공식은 TL = R * tan(I/2)입니다. 교각 I=54도 12분, 곡선반경 R=300m를 대입하면 tan(27도 6분)을 계산하여 약 152.69m가 도출됩니다.
곡선 종점까지 거리는 기점-시점 거리(279.32m)에 접선길이(TL)를 더한 값이므로, TL 계산 후 합산하여 563.11m를 구한다.
단곡선에서 접선장(T.L.)의 공식은? (단, R:곡선반경, I:교각)
정답 ④ · 단곡선(원곡선)의 접선장(T.L.)은 교점(IP)에서 단곡선의 시점(B.C.) 또는 종점(E.C.)까지의 거리를 의미합니다. 기하학적 유도에 의해 접선장은 곡선반경 R과 교각 I를 이용하여 T.L.
접선장(T.L.)은 곡선반경(R)과 교각(I)을 이용해 Rtan(I/2)로 계산한다.
단곡선을 설치할 때 교각(I)가 38° 20', 반지름(R)이 300m이면 중앙종거(M1)는?
정답 ① · 문제는 단곡선의 중앙종거를 계산하는 것으로 중앙종거는 R(1 - cos(I/2)) 공식을 사용한다. 주어진 I=38°20'이므로 I/2=19°10'이고 cos19°10'≈0.944567을 대입하면 M1 = 300·(1-0.944567) ≈ 300·0.055433 ≈ 16.63m이 된다.
중앙종거는 반지름에서 접선장을 뺀 값으로 계산된다.
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