개념 한 쪽
재료에 힘을 가하면 단면에는 응력이 생기고 길이는 변한다. 응력과 변형도의 비율이 재료마다 정해져 있어, 힘과 치수만 알면 늘어난 길이를 계산할 수 있다. 가로 방향의 줄어듦과 전단 변형도 같은 원리로 구한다.
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출제기준 단원 「응력도와 변형도」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 재료 판별 | 1 | 탄성계수로 재료 고르기 |
| 늘음량 계산 | 2 | 인장 하중 때 늘어난 길이 구하기 |
가장 자주 묻는 것은 늘음량 계산입니다.
후크의 법칙은 응력이 탄성계수와 변형도의 곱이라는 관계다. 변형도는 늘어난 길이를 원래 길이로 나눈 값이다. 두 식을 합치면 늘어난 길이는 힘과 길이의 곱을 단면적과 탄성계수의 곱으로 나눈 값이 된다. 단면 5cm², 길이 3m인 강봉에 5,000kgf를 가하면 늘어난 길이는 0.15cm다. 단위를 cm와 kgf로 맞추는 것이 계산의 첫 단계다.
탄성계수는 실험값으로 구할 수 있다. 힘과 길이, 단면적, 늘어난 길이를 알면 탄성계수를 역으로 계산한다. 단면적 10cm², 길이 2.1m인 부재에 10tonf를 가해 늘어난 길이를 재면 약 2.1×10^6 kgf/cm²가 나오고, 이 값은 철재의 범위에 해당한다. 응력과 늘어난 길이, 탄성계수를 알면 원래 길이도 구할 수 있다. 변형도가 응력을 탄성계수로 나눈 값이므로, 원래 길이는 늘어난 길이를 변형도로 나누어 정한다.
가로 방향의 변형도 비율이 포아송비다. 축방향 변형도와 횡방향 변형도를 각각 구해 나누면 된다. 지름 22mm, 길이 50cm인 강봉이 0.04cm 늘고 지름이 0.0006cm 줄었다면 포아송비는 약 0.34다. 전단 변형도는 전단응력을 전단탄성계수로 나누어 구하고, 전단탄성계수는 탄성계수를 포아송비를 이용해 2(1+ν)로 나누어 구한다. 탄성계수 2,100kgf/cm², 포아송비 0.3이면 전단탄성계수는 약 807.7kgf/cm²이고, 전단응력 100kgf/cm²에서 전단변형도는 약 0.124rad이 된다.
응력과 변형도 문제는 단위와 공식의 순서를 흔든다. 길이를 m로 둔 채 단면적과 탄성계수는 cm 기준으로 계산하거나, 포아송비를 축변형도 나누기 횡변형도로 뒤집는 선지가 대표적이다. 전단변형도를 전단응력에 전단탄성계수를 곱해 구하거나, 전단탄성계수를 2(1+ν)로 나누지 않고 탄성계수 그대로 쓰는 계산도 틀린다.
균질 재료로 된 부재 단면적이 10cm²이고 부재길이가 2.1m이며 재축방향으로 10tonf의 인장력을 작용하였을 때 길이 1mm가 늘어났다. 다음 중 어느 재료의 길이 방향 탄성계수라고 판단되는가?
정답 ① · 재료시험 결과로부터 길이방향 탄성계수를 계산하여 재료를 판별하는 문제이다. 탄성계수는 E=PL/(A ΔL)로 구하며, 각 값을 단위에 맞게 대입하면 E=10000kgf 곱하기 210cm 나누기 (10cm² 곱하기 0.1cm)=2.1 곱하기 10의 6승 kgf/cm²가 된다.
탄성계수 E=PL/AΔL로 계산하면 약 2.1×10^6 kgf/cm²로 철재의 범위에 해당하므로 철재가 정답이다.
단면이 5cm²이고 길이가 3m인 강봉에 5,000kgf의 축방향 인장하중이 작용한다면 늘음량은? (단, 강봉의 탄성계수 E=2.0×10⁶kgf/cm²임)
정답 ② · 응력-변형률의 관계를 나타내는 훅의 법칙(σ=Eε)과 변형량 공식(δ=PL/AE)을 활용하여 풉니다. 축방향 인장하중 P=5,000kgf, 단면적 A=5cm², 길이 L=3m=300cm, 탄성계수 E=2.0×10^6 kgf/cm²를 공식에 대입하면 δ = (5000 × 300) / (5 × 2,000,000) = 1,500,000 / 10,000,000 = 0.15cm가 됩니다.
인장 늘음량 δ는 PL/AE 공식으로 계산되며, 단위 통일 후 대입하면 0.15cm가 된다.
철근의 단면이 2cm² , 탄성계수 2.0×10⁸kg/cm²가 이고 길이가 10m, 외력으로 10tf의 인장력이 작용하면 늘어난 길이는?
정답 ① · 응력-변형률 관계식인 ΔL = PL/AE를 이용합니다. 외력 P = 10tf = 10,000kgf, 길이 L = 1000cm, 단면적 A = 2cm², 탄성계수 E = 2.0×10^8 kg/cm²를 대입합니다.
인장 변형량 공식 ΔL=PL/AE에 각 값을 대입하여 계산하면 0.025cm로 2.50cm가 된다.
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