개념 한 쪽
특성방정식은 폐루프 시스템의 안정성 판단 기준이 되는 분모 방정식으로, 근의 위치가 안정성 및 응답 특성을 결정한다. 루스(Routh) 배열과 근궤적, 주파수응답을 이용하여 특성방정식으로부터 안정성 정보를 얻는다.
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출제기준 단원 「특성방정식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 우반평면 근에 따른 안정성 판정 | 1 | 특성방정식 근의 위치로 안정/불안정 판별하기 |
| 루스 배열의 특이점 처리 | 1 | 루스 첫 열에 0이 나올 때의 처리 방법을 고르기 |
| 근 위치와 응답 속도 관계 | 1 | 근의 허수축 거리와 응답속도의 관계를 설명하기 |
특성방정식은 폐루프 전달함수의 분모가 0이 되는 식, 즉 1+열린루프 전달함수=0으로 정의한다. 이 방정식의 근(pole)은 시스템의 고유한 동적 거동을 결정하므로 안정성 판별의 출발점이 된다.
특성방정식의 근은 복소평면에서의 위치에 따라 의미가 달라진다. 모든 근이 좌측반평면에 있으면 시스템은 안정하며 정상 상태로 돌아온다. 반대로 근 중 하나라도 우측반평면에 있으면 시스템은 발산하여 불안정하다고 판정한다.
근의 실수부는 감쇠 성분을 나타내고 허수부는 진동을 나타낸다. 실수부가 음수이면 감쇠하여 진동 응답이 시간이 지남에 따라 작아지며, 실수부가 양수이면 발산하는 응답을 보인다. 따라서 허수축에서의 거리(실수부의 절대값)가 커지면 감쇠가 증가하여 과도응답이 더 빠르게 안정화된다.
루스 배열은 특성방정식의 계수만으로 우반평면에 위치한 극의 개수를 판별하는 강력한 도구이다. 루스 표의 첫 번째 열에서 부호가 바뀌는 횟수는 우반평면 극의 수와 일치하기 때문에, 부호 변화를 통해 불안정성을 판단한다. 다만 첫 번째 열에 0이 나타나는 것은 곧바로 불안정을 의미하는 것이 아니라 계산상의 특이점이므로 ε 치환이나 보조 처리로 해결해야 한다.
주파수응답(보데, 나이퀴스트)과 근궤적은 특성방정식 근의 이동을 통해 이득 변화에 따른 안정 한계나 안정여유를 분석하는 방법이다. 라플라스 변환 자체는 모델링 도구로, 안정성 판별을 위해서는 변환된 표현에서 다시 근 분석 기법을 적용해야 한다.
예 1 — 루스 배열의 특이점 처리 절차를 확인한다. 루스 배열 계산 도중 첫 번째 열에 0이 나오면 이를 불안정의 증거로 바로 판단하지 않고, 0을 매우 작은 양수 ε로 치환하거나 특성방정식을 미분하여 보조행을 구성하는 방식으로 판별을 계속한다.
예 2 — 특성방정식을 정리하여 이득 범위를 구하는 대표 절차를 보인다. 식 1 + Kc/((s+1)(s+2)) = 0을 분모 통분하면 s^2 + 3s + (2+Kc) = 0이 된다. 루스 표의 첫 열이 1, 3, 2+Kc가 되므로 안정 조건은 2+Kc > 0이 된다. 따라서 얻는 이득 범위는 Kc > -2이다.
예 3 — 한계이득과 한계주기 계산은 루스 배열의 특수한 상태를 이용하여 구한다. 특성방정식 10s^3 + 17s^2 + 8s + (1+KC) = 0에서 루스 판별법을 적용하면 한계이득 Kcu와 한계주기 Tu를 도출할 수 있으며, 해당 문제의 계산 결과는 Kcu ≈ 12.6, Tu ≈ 7.0248이라는 값이 나온다.
특성방정식의 근 중 하나가 복소평면의 우측반평면에 존재하면 이 계의 안정성은?
정답 ② · 특성방정식의 근의 위치에 따른 계의 안정성을 묻는 문제이다. 선형 계의 시간응답은 특성방정식의 근에 지수함수적으로 의존하며, 근의 실수부가 양이면 응답이 시간에 따라 발산한다.
특성방정식의 근이 복소평면 우측반평면에 존재하면 시스템은 불안정하다.
Routh array에 의한 안전성 판별법 중 옳지 않은 것은?
정답 ④ · 문제는 Routh 배열 안정성 판별법에 대한 옳지 않은 설명을 찾는 것이다. Routh 배열에서 특성방정식 계수가 서로 다른 부호를 가지면 불안정하고, 첫 번째 열의 부호 변화 횟수는 우반평면에 있는 극점 수와 일치하므로 해당 서술들은 옳다.
Routh 배열의 첫 번째 컬럼에 0이 나타나면 불안정이 아니라 계산 특이점이므로, 0을 매우 작은 양수 ε로 치환하여 판별해야 한다.
특성방정식에 관한 설명으로 옳은 것은?
정답 ③ · 문항은 특성방정식의 근 위치와 시스템 응답 특성의 관계를 묻고 있다. 근의 실수부가 더 음의 값(허수축에서 멀어짐)을 가질수록 감쇠가 커지고 과도응답이 더 빠르게 사라지므로 응답 속도가 빨라진다.
특성방정식의 근이 허수축에서 멀어질수록 감쇠 성분이 커져 시스템 응답 속도가 빨라진다.
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