특수한 경우의 안정판정은 라우스 판정법, 보데 선도, 고유치 이동 궤적 등 여러 방법의 예외적 처리 절차를 이해해야 한다는 점을 강조한다. 라우스 배열에서 0이 발생하거나 특수한 근의 배치가 나오면 보조방정식이나 추가 계산을 통해 한계 이득과 한계 주기를 구해야 한다고 본다. 보데 선도에서는 이득여유와 위상여유의 정의와 관계를 정확히 구분해야 하며, 고유치 이동 궤적은 이득 변화에 따른 극점의 이동을 통해 안정성을 판단한다고 본다.
출제기준 단원 「특수한 경우의 안정판정」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
묻는 꼴
문제 수
무엇을 묻나
Bode 판별법 적용 오류 찾기
1
이득여유와 위상여유 정의의 올바른 적용을 판별하는 문제
근의 형태로 응답 유형 판정
1
근의 실수부와 허수부로 감쇠·진동 여부를 판단하는 문제
라우스 특수 케이스 계산
1
라우스 배열의 특수 상황에서 한계이득과 한계주기를 계산하는 문제
뜻
라우스 판정법은 특성방정식의 계수로부터 폐루프 안정성을 판정하는 방법이며, 라우스 배열 작성 중 0이 나타나는 경우에는 보조방정식을 세우거나 배열을 미분하여 처리를 해야 한다고 본다. 이 절차를 통해 한계 상태에서 허수축을 교차하는 경우의 한계이득(Kcu)과 한계주기(Tu)를 구할 수 있다고 본다. 예시 자료에서는 라우스 배열 처리를 통해 Kcu≈12.6, Tu≈7.0248을 얻는 계산 사례를 제시한다.
보데 선도는 주파수 응답에서 이득여유(GM)와 위상여유(PM)를 이용해 안정성을 판단하는 도구라고 본다. 이득여유는 위상각이 -180도가 되는 주파수에서의 진폭비의 역수(또는 dB 차이)로 정의된다고 본다. 이득여유가 클수록 시스템은 -180도에서 더 멀리 떨어져 안정성이 크다고 해석한다는 점을 명확히 한다.
고유치 이동 궤적은 비례 이득 K가 0에서 ∞까지 변할 때 특성방정식의 근(고유치)이 s 평면상에서 어떻게 이동하는지를 나타내는 것으로 정의한다고 본다. 따라서 고유치들의 궤적 자체가 점철하는 것은 이득이나 감쇠율이 아니라 '근'이며, 근의 위치를 통해 안정성, 감쇠, 응답 속도 등을 판단한다고 본다.
특성방정식의 근(극점)과 시간응답의 관계에서 근의 실수부 부호는 안정과 감쇠 여부를 결정한다고 본다. 실수부가 음수이면 감쇠 응답을 보이고, 양수이면 발산하는 응답을 보이며, 허수부의 존재는 진동을 야기한다고 본다. 1차계의 시상수 정의와 같은 기본 성질도 근의 위치와 관련된 응답 해석의 기초가 된다고 본다.
예제
라우스 배열에서 0 행이 나올 때는 보조방정식을 세워 허수해를 구하는 절차를 따른다. 주어진 특성방정식 10s³+17s²+8s+(1+KC)=0에 라우스 판정법을 적용하면 한계이득 Kcu와 한계주기 Tu를 계산할 수 있으며, 자료에서는 Kcu≈12.6, Tu≈7.0248이 도출된 사례를 제시한다. 보데 선도 관련 문제는 '이득여유가 클수록 -180도에서 멀어진다'는 점을 기준으로 선지를 검토하면 오답을 제거할 수 있다. 고유치 이동 궤적 문제는 'Root Locus의 Root는 근(고유치)'이라는 정의를 떠올려 이득·감쇠·시정수와 점철 대상 혼동을 피한다.
대표 기출 3문항
Bode 선도를 이용한 안정성 판별법 중 옳지 않은 것은?
위상 크로스오버 주파수(Phase crossover frequency)에서 AR 은 1보다 작아야 안정하다.
정답 ③ · Bode 선도를 이용한 안정성 판별은 폐루프 시스템이 안정한지를 판별하기 위해 개루프 주파수 응답을 살펴보는 방법입니다. 따라서 개루프 전달함수가 안정한지 여부와 무관하게, 위상 여유와 이득 여유를 측정하여 폐루프 시스템의 안정성을 평가할 수 있으므로 안정한 공정 전달함수에 대해서만 적용 가능하다는 보기 3번의 설명은 틀렸습니다.
Bode 선도는 개루프 전달함수가 불안정해도 적용 가능하며, 안정한 공정에만 제한되지 않으므로 ③번이 틀린 설명이다.
어떤 이차계의 특성방정식의 두 근이 다음과 같다고 할 때 단위계단입력에 대하여 감쇠하는 진동 응답을 보이는 공정은?
1+3 i, 1-3 i
-1, -2
2, 4
-1+2 i, -1-2 i
정답과 해설 보기
정답 ④ · 문제는 전달함수의 극점 위치(특성방정식의 근)로부터 시간응답 특성을 판단하는 문제이다. 복소수 쌍의 실수부가 음수이면 감쇠 진동 응답이 나타나므로 -1 ± 2i와 같은 근을 가지는 경우가 감쇠 진동을 보인다.
실수부가 음수인 복소수 쌍은 감쇠 진동을 일으킨다.
특성방정식이 10s3+17s2+8s+1+KC=0와 같을 때 시스템의 한계이득(ultimate gain, Kcu)과 한계주기(ultimate period, Tu)를 구하면?
Kcu = 12.6, Tu=7.0248
Kcu = 12.6, Tu=0.8944
Kcu = 13.6, Tu=7.0248
Kcu = 13.6, Tu=0.8944
정답과 해설 보기
정답 ① · 문제는 주어진 특성방정식으로부터 라우스 판정법을 이용해 한계이득(Kcu)과 한계주기(Tu)을 구하는 것을 요구한다. 라우스 배열을 구성하여 계수 간의 관계에서 경계 상태(약한 안정성, 즉 0행 처리 또는 계수가 0인 경우)를 찾고 그 조건에서 K 값을 계산하면 Kcu=12.6이 도출된다.