개념 한 쪽
제어계의 안정성은 특성방정식의 근(극점) 위치로 판별한다 근이 복소평면의 좌측에 모이면 안정하다고 판단한다 우측에 하나라도 있으면 불안정하다고 본다
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출제기준 단원 「안정성 개념」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 우반면 근 판별 | 1 | 근 위치로 안정/불안정 여부를 가려내기 |
| 루스법 예외 처리 | 1 | 루스 배열 첫 열에 0이 나올 때 처리 방법 묻기 |
| 근 위치와 응답 특성 | 1 | 실수 근의 부호와 응답 형태를 연결하기 |
특성방정식의 근은 시스템의 동특성을 결정한다 실수부의 부호가 안정성의 핵심 기준으로 작용한다 실수부가 음수이면 감쇠되어 안정한다 실수부가 양수이면 지수적으로 발산하여 불안정하다고 본다 허수부는 진동을 유발하므로 허수부가 0이면 진동이 없고 허수부가 0이 아니면 복소켤레근으로 진동을 동반할 수 있다고 본다
특성방정식의 근 위치 변화는 제어 이득 변경에 따라 발생한다 예컨대 비례이득 Kc를 증가시키면 극점이 우측으로 이동할 수 있다 두 실근이 만나 켤레 복소근이 된 뒤 실수부가 양수로 바뀌면 시스템은 불안정해진다 근궤적(root locus)은 이 과정의 일반적 경향을 설명한다
루스 판별법은 특성방정식의 계수만으로 안정 여부와 우반면에 있는 극점 개수를 판별하는 방법이다 완성된 루스 배열의 첫 번째 열에서 부호 변화가 발생하는 횟수가 우반면 극점의 수와 일치한다 계수에 부호 혼재가 있으면 불안정으로 판단할 수 있지만 첫 열에 0이 나타나면 특수 처리가 필요하다
루스 배열에서 첫 열에 0이 나올 경우 즉시 불안정으로 결론내지 않고 작은 양수 ε로 치환하거나 다른 수학적 처리를 수행해야 한다 또한 특성방정식이 다항식 형태여야 루스법을 직접 적용할 수 있으므로 지연항이나 비다항식 요소가 있으면 별도의 처리나 근사법을 사용해야 한다
특성방정식의 근이 우측반평면에 하나라도 존재하면 시스템은 불안정하다고 판정한다 예컨대 특성방정식의 근이 양의 실수 λ(λ>0)이면 시간응답은 e^(λt) 형태로 지수적 발산을 보이며 진동 요소는 없으므로 불안정한 응답이 된다고 본다 루스 판별법을 적용할 때 모든 계수가 양수여도 루스 배열 작성 후 첫 열 부호를 확인하여야 안정 여부를 확정할 수 있다
특성방정식의 근 중 하나가 복소평면의 우측반평면에 존재하면 이 계의 안정성은?
정답 ② · 특성방정식의 근의 위치에 따른 계의 안정성을 묻는 문제이다. 선형 계의 시간응답은 특성방정식의 근에 지수함수적으로 의존하며, 근의 실수부가 양이면 응답이 시간에 따라 발산한다.
특성방정식의 근이 복소평면 우측반평면에 존재하면 시스템은 불안정하다.
Routh array에 의한 안전성 판별법 중 옳지 않은 것은?
정답 ④ · 문제는 Routh 배열 안정성 판별법에 대한 옳지 않은 설명을 찾는 것이다. Routh 배열에서 특성방정식 계수가 서로 다른 부호를 가지면 불안정하고, 첫 번째 열의 부호 변화 횟수는 우반평면에 있는 극점 수와 일치하므로 해당 서술들은 옳다.
Routh 배열의 첫 번째 컬럼에 0이 나타나면 불안정이 아니라 계산 특이점이므로, 0을 매우 작은 양수 ε로 치환하여 판별해야 한다.
특성방정식에 관한 설명으로 옳은 것은?
정답 ③ · 문항은 특성방정식의 근 위치와 시스템 응답 특성의 관계를 묻고 있다. 근의 실수부가 더 음의 값(허수축에서 멀어짐)을 가질수록 감쇠가 커지고 과도응답이 더 빠르게 사라지므로 응답 속도가 빨라진다.
특성방정식의 근이 허수축에서 멀어질수록 감쇠 성분이 커져 시스템 응답 속도가 빨라진다.
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