개념 한 쪽
라플라스 변환과 퓨리에 변환은 시간 영역의 신호를 복소주파수 영역으로 옮겨 미분방정식과 신호 성질을 대수적으로 다루게 하는 도구이다. 라플라스 변환은 선형 미분방정식을 대수방정식으로 바꿔 해를 구하기 쉽게 하며, 시간 지연과 주파수 응답을 전달함수 형태로 표현하게 한다. 퓨리에 변환은 주로 주기적이거나 영속적 신호의 주파수 성분 분석에 쓰이며, 두 변환의 성질 대응 관계를 혼동하지 않는 것이 핵심이다.
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출제기준 단원 「퓨리에(Fourier)변환과 라플라스(Laplace)변환」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 완전혼합 탱크의 주파수 응답 계산 | 1 | 탱크 시정수와 주기으로 출력 진폭을 계산하기 |
| 수송 지연의 전달함수 표기 | 1 | 지연 시간을 전달함수의 e^(-Ls) 형태로 표현하기 |
| 라플라스 변환의 목적과 성질 판별 | 1 | 미분방정식의 대수화와 변환 성질을 가리는 문제 |
라플라스 변환은 시간 영역의 함수 f(t)를 복소변수 s의 함수 F(s)로 바꾸는 연산이다. 이 변환은 미분의 연산을 s의 곱셈과 초기조건 항으로 바꾸어 선형 미분방정식을 대수방정식으로 변환하게 한다. 이 때문에 라플라스 변환은 공정의 전달함수 해석과 제어계 설계에 주로 사용된다는 점을 항상 염두에 둬야 한다.
라플라스 변환이 항상 존재하는 것은 아니며, 함수는 적분수렴 조건을 만족해야 한다. 일반적으로 '지수적 차수' 조건을 만족해야 변환적분이 수렴한다는 점을 기억해야 한다. 따라서 모든 시간 함수가 라플라스 변환을 가진다는 설명은 틀린 진술이다.
시간 영역에서의 연산과 s영역에서의 대응 관계를 이해해야 한다. 합성은 선형성으로 간단히 대응되지만, 시간에서의 곱은 s영역에서의 단순 곱이 아니라 합성곱(convolution)에 해당한다. 반대로 s영역의 곱은 시간영역에서의 합성곱에 대응한다는 점을 헷갈리지 않아야 한다.
시간 지연(시간 쉬프트)은 라플라스 영역에서 지수 인자 e^(-sθ)를 곱하는 것으로 표현된다는 성질이 중요하다. 즉 y(t-θ)의 라플라스 변환은 e^(-sθ)Y(s) 형태가 되며, s를 θ만큼 치환하는 것과는 전혀 다른 개념이라는 점을 분명히 구분해야 한다.
주파수 응답과 전달함수 해석에서는 지연 요소가 위상만 변화시키고 이득은 그대로 유지한다는 점을 활용한다. 또한 단위 임펄스(델타 함수)는 면적이 1로 유지되는 극한 개념이므로 폭을 0으로 줄이면서 면적을 보존하는 방식으로 이해해야 한다.
1) 지수함수의 라플라스 변환 예시로 e^{-bt}의 변환을 보인다. 정의식에 따라 ∫₀^∞ e^{-st}e^{-bt} dt = ∫₀^∞ e^{-(s+b)t} dt 이므로 적분을 수행하면 1/(s+b)가 된다는 결과를 얻는다. 이때 수렴조건으로는 Re(s+b)>0가 요구된다는 점을 유의한다.
2) 완전혼합 탱크의 주파수 응답 예시를 풀이한다. 탱크 부피가 10 m³이고 유입·유출 유량이 1 m³/h이면 시정수 τ는 V/Q=10 h가 된다. 입력농도가 주기 1 h를 갖는 진동으로 평균치 중심 진폭 0.3 mol/L로 변할 때 각진동수 ω는 2π rad/h가 된다. 1차 지연 시스템의 진폭비는 1/√((τω)²+1)이므로 τω≈10·2π≈62.8이 되어 진폭비는 약 0.016 정도가 된다. 따라서 출력 진폭은 입력 진폭 0.3에 곱해 약 0.0048 mol/L가 되어 0.005에 근접한다.
3) 시간 지연의 전달함수 표현 예시로 수송 지연 L=0.5 min인 경우 전달함수의 지연 요소는 e^{-0.5s}로 표기된다는 사실을 들며, 이 요소는 주파수 응답에서 위상 지연을 유발하지만 이득은 1로 유지된다는 점을 설명한다.
공정유체 10m³를 담고 있는 완전혼합이 일어나는 탱크에 성분 A를 포함한 공정유체가 1m³/h로 유입되며 또한 동일한 유량으로 배출되고 있다. 공정유체와 함께 유입되는 성분 A의 농도가 1시간을 주기로 평균치를 중심으로 진폭 0.3mol/L로 진동하며 변한다고 할 때 배출되는 A의 농도변화 진폭(mol/L)은?
정답 ③ · 완전혼합 탱크(CSTR)의 농도 응답은 1차 지연 시스템()입니다. 여기서 시정수 입니다.
1차 지연 시스템의 진폭비는 1/√((τω)²+1)이므로 시정수와 주기를 이용해 계산한다.
제어변수의 온도를 측정하는 열전대의 수송지연이 0.5min 일 때 제어변수오 측정값 간의 전달함수는?
정답 ② · 문제는 측정 장비의 수송 지연이 주어졌을 때 전달함수 형태를 묻고 있다. 시간지연 L은 라플라스 도메인에서 e^{-Ls}로 표현되므로 L=0.5분이면 전달함수는 e^{-0.5s}가 된다.
시간 지연(수송 지연)은 전달함수에서 지수함수 형태 e^(-Ls)로 표현되며, 지연 시간 L이 0.5min이므로 e^(-0.5s)가 된다.
라플라스 변환의 주요 목적은?
정답 ③ · 문항은 라플라스 변환의 주요 목적을 묻고 있다. 라플라스 변환은 주로 선형 미분방정식을 복잡한 미분 연산 대신 대수적 방정식으로 바꾸어 해를 구하기 쉽게 만드는 기법이다.
라플라스 변환의 핵심 목적은 선형 미분방정식을 대수방정식으로 변환하여 해를 구하기 쉽게 하는 것이다.
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