개념 한 쪽
라플라스 변환은 시간 영역 함수를 복소 주파수 s 영역으로 옮겨 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸는 도구이다. 변환이 정의되려면 함수가 적분 수렴을 만족하는 존재조건을 충족해야 한다. 시간 지연과 펄스 같은 신호는 s 영역에서 지수 인자나 특수함수로 표현되며, 역변환을 통해 원래 시간 응답을 복원한다.
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출제기준 단원 「라플라스(Laplace) 역변환」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 지연 요소 전달함수 판별 | 1 | 주어진 지연시간으로 전달함수의 지수인자 표기를 가리기 |
| 변환의 목적과 성질 확인 | 1 | 라플라스 변환의 주된 목적과 선형성·미분 성질을 묻기 |
| 임펄스와 극한 개념 판단 | 1 | 단위 임펄스의 면적 특성과 사각펄스 극한 비교하기 |
라플라스 변환은 시간영역 f(t)(t≧0)를 F(s)=∫₀^∞ e^{-st}f(t)dt로 옮기는 연산으로, 선형성 등 기본 성질을 가진다. 이 연산이 모든 함수에 대해 존재하는 것은 아니며, 적분이 수렴하기 위한 존재조건으로서 함수는 지수적 차수(exponential order)를 가져야 할 수 있다는 점을 항상 확인해야 한다.
미분과 적분의 성질에 따라 시간영역에서의 미분은 s 곱셈과 초기값 항으로 표현되고, 적분도 정해진 관계에 따라 변환된다. 두 함수의 합에 대해서는 각 변환의 합이 되며, 선형성으로 인한 중첩 원리를 이용해 복잡한 입력을 분해하여 해를 구한다.
시간 지연(시간 쉬프트) 성질은 매우 중요하다. 함수 y(t)가 θ만큼 지연되면 라플라스 변환은 Y(s)에 e^{-sθ}를 곱한 형태가 되며, 이는 s 영역에서의 단순한 치환이 아님을 명확히 구분해야 한다. 반대로 s 영역에서의 곱은 시간영역에서의 합성곱에 해당하고, 시간영역의 곱은 s 영역에서의 합성곱으로 대응한다.
단위 임펄스(δ(t))는 폭이 0으로 가더라도 전체 면적이 1로 유지되는 특수한 신호이며, 단순히 높이가 고정된 사각펄스의 폭을 0으로 줄여서는 단위 임펄스를 만들 수 없다는 점을 구별해야 한다. 이러한 정의적 특성은 역변환을 통한 시간영역 복원에서 중요한 직관을 제공한다.
역변환은 s 영역의 표현을 적절한 표준 변환 쌍과 성질을 이용해 시간영역 함수로 되돌리는 과정이며, 변환쌍과 쉬프트, 중첩 규칙을 조합하여 원래 신호를 복원한다.
예 1: 지수함수의 역변환 s 영역에서 F(s)=1/(s+b)가 주어지면, 이는 표준 변환쌍의 역을 이용하여 시간영역에서 f(t)=e^{-bt}가 됨을 확인한다. 정의식에 따라 라플라스 변환을 계산하면 ∫₀^∞ e^{-st}e^{-bt}dt=1/(s+b)이므로 역변환은 e^{-bt}가 됨을 바로 쓸 수 있다.
예 2: 시간 지연의 역변환 s 영역에서 G(s)=e^{-sθ}Y(s)가 주어지면, 역변환은 g(t)=y(t-θ)u(t-θ) 형태가 됨을 이용한다. 즉, e^{-sθ} 곱셈은 시간영역에서의 θ 지연과 단위계단 u(t-θ)를 동반하므로 역변환 시 지연된 원신호가 θ 이전에는 0인 형태로 복원된다.
제어변수의 온도를 측정하는 열전대의 수송지연이 0.5min 일 때 제어변수오 측정값 간의 전달함수는?
정답 ② · 문제는 측정 장비의 수송 지연이 주어졌을 때 전달함수 형태를 묻고 있다. 시간지연 L은 라플라스 도메인에서 e^{-Ls}로 표현되므로 L=0.5분이면 전달함수는 e^{-0.5s}가 된다.
시간 지연(수송 지연)은 전달함수에서 지수함수 형태 e^(-Ls)로 표현되며, 지연 시간 L이 0.5min이므로 e^(-0.5s)가 된다.
라플라스 변환의 주요 목적은?
정답 ③ · 문항은 라플라스 변환의 주요 목적을 묻고 있다. 라플라스 변환은 주로 선형 미분방정식을 복잡한 미분 연산 대신 대수적 방정식으로 바꾸어 해를 구하기 쉽게 만드는 기법이다.
라플라스 변환의 핵심 목적은 선형 미분방정식을 대수방정식으로 변환하여 해를 구하기 쉽게 하는 것이다.
Laplace 변환 등에 대한 설명으로 틀린 것은?
정답 ③ · 라플라스 변환과 관련된 공정제어 수학 기초 개념을 묻는 문제입니다. 1번 sin(wt)의 라플라스 변환은 w/(s²+w²)이 맞습니다.
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