개념 한 쪽
1차계 시스템은 시정수와 정적 이득으로 동작 특성이 결정되며, 계단 입력과 펄스 입력에 대한 응답을 통해 동적 성질을 분석한다. 펄스는 계단의 결합으로 분해하여 중첩 원리로 해석하고, 시정수는 응답 속도의 척도로서 계의 반응 시간을 규정한다.
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출제기준 단원 「1차계의 전달함수」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 펄스 입력 시간영역 응답 유도 | 1 | 펄스를 계단의 차로 분해해 1차계 응답을 구하는 방법을 물음 |
| 시정수 정의와 도달비율 판별 | 1 | 시정수의 정의와 특정 도달비율과의 관계를 판별함 |
| 계의 동특성 판단 | 1 | 1차 또는 2차계 연결 시 응답 특성 변화를 설명하도록 요구함 |
1차계 전달함수는 일반적으로 분모가 1차식인 전달함수로 나타내며, 시정수 τ와 정적 이득 K로 특성이 요약된다. 시정수 τ는 시스템이 외란에 대해 얼마나 빠르게 반응하는지를 나타내는 지표이며, 물리적으로는 저항과 용량의 곱과 대응되는 경우가 많다. 단위 계단 입력에 대한 응답 시 τ만큼 지나면 출력이 최종 정상치의 약 63.2%에 도달한다는 특성이 있다.
펄스 입력은 유한한 지속시간을 가진 입력으로, 크기와 지속시간이 주어질 때 이를 단위 계단들의 차로 표현할 수 있다. 선형 시스템에서는 이러한 분해를 이용해 각 계단응답을 구한 뒤 중첩 원리를 적용하여 전체 응답을 얻는다. 지연된 계단항은 단위 지연 함수 u(t-T)를 곱해 t≥T 구간에서만 작용하도록 표현해야 한다.
시정수의 크기는 응답의 속도와 직접 연관되며, 시정수가 클수록 응답이 느려진다. 직렬로 연결된 여러 1차 요소는 전체 응답의 지연을 누적시키므로 전체 시스템의 응답 속도는 요소 수가 증가함에 따라 늦어진다.
1차계의 시간 응답 해석은 전달함수의 분해와 시간지연 표현을 정확히 다루는 연습이 핵심이므로, 계단응답 공식과 지연표현 u(t-T)의 적용을 습득해야 한다.
어떤 1차계의 전달함수가 1/(2s+1)로 주어졌고, 크기 1, 지속시간 1인 펄스 입력이 도입되었다고 가정한다. 펄스는 t=0에서 +1 계단이, t=1에서 -1 계단이 가해지는 것으로 분해할 수 있다. 이 시스템의 시정수는 τ=2이므로 단위 계단 입력의 응답은 1-e^{-t/2}가 된다.
따라서 첫 번째 계단의 응답은 1-e^{-t/2}이고, 두 번째(지연된 음의 계단)의 응답은 [1-e^{-(t-1)/2}]u(t-1)이다. 중첩 원리에 따라 전체 출력은 출력(t) = 1-e^{-t/2} - [1-e^{-(t-1)/2}]u(t-1) 와 같이 표현된다. 이 식은 t<1일 때는 첫 항만 남아 1-e^{-t/2}가 되고, t≥1일 때는 두 항의 차로 계산되는 응답을 보인다는 것을 확인할 수 있다.
또한 시정수의 의미를 점검하면 τ에서 출력이 최종치의 약 63.2%에 도달하며, 약 3τ에서 95%에 도달하는 근사 관계가 성립함을 이용해 응답 속도를 직관적으로 판단할 수 있다.
2차계 공정의 동특성을 가지는 공정에 계단입력이 가해졌을 때 응답 특성 중 맞는 것은?
정답 ④ · 2차계 시스템의 응답 특성은 시스템의 감쇠계수(Zeta) 값에 따라 크게 과감쇠, 임계감쇠, 과소감쇠로 나뉩니다. 출력이 진동하느냐 안 하느냐를 결정하는 핵심 요인은 바로 이 감쇠계수입니다.
2차계 시스템에서 진동 발생 여부는 감쇠계수(Zeta) 값이 1보다 작은지 여부에 의해 결정된다.
1차계의 시상수 τ에 대하여 잘못 설명한 것은?
정답 ② · 1차 계의 시상수(τ)는 시스템의 저항과 용량의 곱이며, 입력이 단위 계단 함수일 때 시간 상수 τ의 시간이 지나면 최종치의 약 63.2%에 도달합니다. 시상수가 클수록 응답 속도가 느려지며 시간의 단위를 가집니다.
1차 계의 시상수 τ는 RC 곱이며 단위 계단 응답 시 최종치의 63.2%에 도달하는 시간이므로 85% 도달 시간과 다르다.
1차계의 시간상수 τ에 대한 설명으로 틀린 것은?
정답 ② · 1차 지연계의 시간상수 τ는 계의 저항과 용량의 곱이며 시간 단위를 가집니다. 계단 응답에서 시간상수가 크면 응답 속도가 느려집니다.
1차계의 시간상수 τ는 계단 입력 시 응답이 최종값의 약 63.2%에 도달하는 시간이며, 95% 도달 시간은 약 3τ입니다.
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