개념 한 쪽
과도응답은 입력이 바뀌었을 때 전달함수가 시간영역에서 보이는 임시적인 거동을 의미한다는 점을 이해한다. 시정수, 감쇄계수, 초기값·최종값 정리는 과도응답을 빠르게 판단하는 핵심 도구라는 점을 기억한다. 펄스 입력은 계단 함수의 차로 분해하여 중첩 원리로 해석하면 응답을 쉽게 구할 수 있다는 점을 활용한다.
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출제기준 단원 「제어계의 과도응답(Transient Response)」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 적분공정의 입력-출력 파형 판단 | 1 | 적분 특성에 따른 입력과 출력 형태 관계를 가리기 |
| 계단응답의 초기·최종값·과도형태 판별 | 1 | 전달함수에서 초기값과 최종값으로 응답 시작·끝과 진동 여부 판별하기 |
| 시정수 배수에 따른 도달비율 계산 | 1 | 1차 계에서 시정수의 배수일 때 응답 비율을 계산하기 |
과도응답은 시스템이 정상상태에서 벗어나 입력 변화에 대응하여 보이는 일시적인 출력을 말한다는 점을 설명한다. 선형 시간불변계에서는 라플라스 변환을 통해 전달함수와 입력을 곱하여 출력의 s영역 표현을 얻고, 역라플라스 변환으로 시간영역 응답을 구한다는 점을 설명한다. 초기값 정리와 최종값 정리는 각각 s→∞와 s→0 극한에서 sY(s)를 계산하여 초기 출력과 정상상태 출력을 구하는 간단한 판별 방법을 제공한다는 점을 설명한다.
1차 계의 계단 응답은 시정수 τ를 사용하여 y(t)=K(1-e^{-t/τ}) 형태로 기술되며, τ의 배수에 따른 도달 비율(1τ≈63%, 3τ≈95% 등)이 응답 속도의 직관적 기준을 제공한다는 점을 설명한다. 감쇄계수 ζ가 정의되는 2차 계는 ζ 값에 따라 무감쇄 진동(ζ=0), 감쇄진동(0<ζ<1), 임계감쇄(ζ=1), 과감쇄(ζ>1)로 동특성이 구분된다는 점을 설명한다. 적분공정은 전달함수 1/s로 표상되어 임펄스 입력에 대해 계단형 출력을 나타내는 누적 거동을 보인다는 점을 명확히 설명한다.
펄스 입력은 선형성에 따라 계단 함수의 합 또는 차로 분해할 수 있으므로, 지연된 계단 응답을 u(t-T)로 표현하여 중첩하면 전체 응답을 얻는다는 점을 강조한다. 주파수 입력에 대한 정상상태 응답에서 이득은 계단 입력의 정상상태값으로, 위상 지연은 전달함수의 지연 성분으로부터 추정할 수 있다는 점을 설명한다.
1) 1차 계 G(s)=1/(2s+1)에 단위 계단을 입력하면 시정수 τ=2이므로 계단응답은 1-e^{-t/2}가 된다는 계산 과정을 보인다. 이로부터 t=3τ일 때 약 95%에 도달한다는 직관을 확인한다.
2) 크기 1, 지속시간 1인 펄스는 u(t)-u(t-1)로 분해하고 각 계단에 대한 1차 계의 응답을 중첩한다는 과정을 보인다. 예를 들어 G(s)=1/(2s+1)일 때 전체 출력은 (1-e^{-t/2}) - (1-e^{-(t-1)/2})u(t-1)로 정리된다는 절차를 제시한다.
3) 예컨대 출력의 s영역 표현에서 분자가 -10s+2이고 분모에 s(s^2+s+1)이 포함된 경우, 초기값은 lim_{s→∞} sY(s)=-10, 최종값은 lim_{s→0} sY(s)=2이므로 초기에 -10에서 시작하여 진동하면서 2로 수렴한다는 판단 절차를 제시한다.
순수한 적분공정에 대한 설명으로 옳은 것은?
정답 ② · 문항은 순수한 적분공정의 특성을 묻고 있다. 적분공정의 전달함수는 1/s이므로 단위 임펄스 입력에 대한 출력은 1/s의 라플라스 변환에 대응하는 시간영역의 계단 함수가 된다.
적분공정은 입력의 누적이 출력이 되므로, 단위임펄스 입력에 대한 출력은 계단형 신호가 된다.
공정의 전달함수가 G(s)=(-10s+2)/(s2+s+1)일 때, 1인 계단입력을 입력했다면, 공정출력에 대한 설명으로 옳은 것은?
정답 ③ · 문제는 주어진 전달함수에 단위계단 입력을 넣었을 때 초기값·최종값·과도응답 형태를 판단하라는 내용이다. 스텝 응답 Y(s)=G(s)/s이고 초기값은 lim_{s→∞} sY(s)=lim(-10s+2)/(s^2+s+1)=-10로 초기에는 감소함을 의미한다.
초기값 정리로 초기 출력을 구하고, 최종값 정리와 극점 위치로 정상상태 및 과도 응답 특성을 분석하면 진동 수렴임을 알 수 있다.
안정한 1차계의 계단응답에서 시간이 시정수(time constant)의 3배가 되면 응답은 최대 값의 몇 %에 도달되는가?
정답 ④ · 안정한 1차계의 계단 응답에서 시간 t가 시정수(time constant, τ)의 n배일 때, 응답은 최종값의 1-e^(-n) 에 도달합니다. 문제에서 n=3인 경우를 물으므로, e^(-3) ≒ 0.0498입니다.
1차 계의 계단 응답은 1-e^(-t/τ)로 결정되며, 시정수 3배일 때 약 95%에 도달한다.
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