개념 한 쪽
라플라스 변환은 시간 영역 함수를 복소 주파수 영역으로 대응시키는 도구로, 선형 미분방정식을 대수방정식으로 바꿔 풀이를 쉽게 한다. 변환의 존재 여부는 수렴 조건에 좌우되며 시간 지연은 s 영역에서 지수인자 e^(-sθ)로 표현한다.
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출제기준 단원 「미분의 라플라스(Laplace)변환」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 시간 지연 전달함수 표기 | 1 | 수송 지연의 전달함수를 e^(-Ls) 형태로 표현하기 |
| 라플라스 성질 판별 | 1 | 시간영역 연산과 s영역 대응 관계(곱·합성곱 등)를 구분하기 |
| 임펄스·극한 이해 | 1 | 단위 임펄스의 면적 보존과 폭·높이 극한의 차이를 판단하기 |
라플라스 변환은 함수 f(t)(t≧0)를 복소변수 s의 함수 F(s)로 바꾸는 연산으로, 미분방정식을 대수방정식으로 변환하여 해를 구하기 쉽게 만든다. 이 과정에서 선형성, 미분·적분의 성질 등 여러 성질을 활용할 수 있다.
모든 시간 함수가 라플라스 변환을 갖는 것은 아니므로 존재 조건을 확인해야 한다. 대표적인 존재 조건은 함수가 지수적 차수를 가져 적분이 수렴하는 경우이며, 이 조건을 만족하지 않으면 변환이 정의되지 않는다.
미분에 대한 성질은 자주 이용된다. 예컨대 시간 영역에서의 도함수는 s를 곱하고 초기값 항을 빼는 형태로 표현되므로 선형 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸는 데 유리하다. 적분에 대한 성질도 유사하게 시간·주파수 대응을 제공한다.
시간 지연(수송 지연)은 라플라스 영역에서 곱셈으로 나타난다. 시간축에서 신호가 θ만큼 지연되면 그 변환은 원래 변환에 e^(-sθ)를 곱하는 형태로 주어진다. 반대로 시간 영역의 곱셈과 주파수 영역의 곱셈은 합성곱 관계로 연결되므로 연산 대응을 헷갈리지 않아야 한다.
임펄스(델타) 함수의 성질도 중요하다. 단위 임펄스는 폭이 0으로 가더라도 전체 면적이 1로 유지되어야 하므로, 높이가 고정된 사각펄스의 폭을 0으로 줄이는 것으로 단위 임펄스를 얻을 수 없음을 구분해야 한다.
예1 — 지수함수의 변환: f(t)=e^(-bt)일 때 라플라스 정의식 ∫₀^∞ e^(-st)f(t)dt에 대입하면 ∫₀^∞ e^(-(s+b)t)dt가 된다. 이 적분이 수렴하면 결과는 1/(s+b)가 된다. 수렴 조건은 분모의 실수부가 양수여서 적분이 수렴하는 경우임을 유의한다.
예2 — 시간 지연 표현: 입력 신호가 θ만큼 지연되면 전달함수는 지수인자 e^(-sθ)를 곱한 형태로 표현한다. 예를 들어 수송지연이 0.5min인 경우 전달함수는 e^(-0.5s)로 표기한다. 이 성질은 지연을 주파수 영역에서 곱셈으로 처리할 수 있게 한다.
예3 — 미분 성질 활용(간단한 유도): y(t)의 라플라스 변환을 Y(s)라 하면 y'(t)의 변환은 sY(s)-y(0+) 형태로 나온다. 이 성질을 이용하면 초기값을 포함한 미분방정식을 s에 대한 대수방정식으로 변환하여 해를 구할 수 있다.
제어변수의 온도를 측정하는 열전대의 수송지연이 0.5min 일 때 제어변수오 측정값 간의 전달함수는?
정답 ② · 문제는 측정 장비의 수송 지연이 주어졌을 때 전달함수 형태를 묻고 있다. 시간지연 L은 라플라스 도메인에서 e^{-Ls}로 표현되므로 L=0.5분이면 전달함수는 e^{-0.5s}가 된다.
시간 지연(수송 지연)은 전달함수에서 지수함수 형태 e^(-Ls)로 표현되며, 지연 시간 L이 0.5min이므로 e^(-0.5s)가 된다.
라플라스 변환의 주요 목적은?
정답 ③ · 문항은 라플라스 변환의 주요 목적을 묻고 있다. 라플라스 변환은 주로 선형 미분방정식을 복잡한 미분 연산 대신 대수적 방정식으로 바꾸어 해를 구하기 쉽게 만드는 기법이다.
라플라스 변환의 핵심 목적은 선형 미분방정식을 대수방정식으로 변환하여 해를 구하기 쉽게 하는 것이다.
Laplace 변환 등에 대한 설명으로 틀린 것은?
정답 ③ · 라플라스 변환과 관련된 공정제어 수학 기초 개념을 묻는 문제입니다. 1번 sin(wt)의 라플라스 변환은 w/(s²+w²)이 맞습니다.
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