토목기사 효율적 흐름 단면 — 동수반경 최대와 Manning 경사

기준이 되는 값은 동수반경이다. 동수반경 R은 단면적 A를 물이 닿는 길이 P로 나눈 A/P이고, 직사각형 단면에서는 A = B·h, P = B + 2h로 잡는다. 수리학적으로 가장 유리한 단면은 이 동수반경이 최대가 되는 단면이므로, 동수반경이 최소라는 설명은 틀린 선지다.

직사각형 단면에서 윤변을 최소로 만드는 조건을 쓰면 동수반경이 수심의 절반, 곧 R = h/2가 된다. 수심 1.5m인 단면을 유리한 꼴로 잡으면 동수반경은 0.75m다. 폭과 수심의 비는 문항마다 1 : 2로 제시되기도 하고 같다고 제시되기도 하므로, 비를 외우기보다 동수반경이 최대가 되는 조건으로 판정한다. 동수반경을 수심과 같다고 적은 값이 오답이다.

Manning 식이 그 이유를 보여 준다. 평균유속은 V = (1/n)R^(2/3)S^(1/2), 유량은 Q = (1/n)A R^(2/3)I^(1/2)이다. 단면적과 조도, 경사가 같다면 R^(2/3) 항이 클수록 유량이 커지므로, 동수반경을 키우는 단면이 유리하다.

계산 예가 정해져 있다. 폭 4m, 수심 2m인 직사각형 단면은 A = 4×2 = 8m², P = 4 + 2×2 = 8m이므로 R = 1m가 된다. 조도계수 n = 0.012, 경사 I = 0.0009를 Manning 식에 넣으면 R^(2/3) = 1이므로 V = (1/0.012)×0.03 = 2.5m/s, Q = A·V = 20m³/s다. 폭 10m, 수심 2m, n = 0.03, 경사 1/50인 수로라면 A = 20m², P = 14m, R ≈ 1.43m이므로 V ≈ 6m/s, Q ≈ 120m³/s가 된다. 윤변을 B + 2h가 아닌 다른 식으로 잡거나 A와 P의 자리를 뒤집은 값, R^(2/3)를 빠뜨린 값이 오답이다.

흐름의 성질은 비에너지와 프루드 수로 가른다. 비에너지는 수로 바닥을 기준으로 한 단위중량당 에너지 E = y + q²/(2gy²)이고, 같은 유량에서 비에너지가 최소가 되는 수심이 한계수심 yc = (q²/g)^(1/3)이다. 비에너지가 일정할 때 한계수심에서는 유량이 최대가 되므로, 유량이 최소가 된다고 적은 선지가 오답이다. 프루드 수 Fr = v/√(gy)가 1보다 작으면 상류, 1보다 크면 사류, 1이면 한계류다. 단위폭당 유량 5m³/s, 수심 5m이면 유속 1m/s, Fr ≈ 0.143으로 상류다. 층류와 난류는 레이놀즈 수로 따로 판정한다.