개념 한 쪽
토목기사 전수두 및 에너지 방정식 — 위어 유량식과 오차 전파
개수로에서 수로 바닥을 기준으로 잡은 단위 중량당 에너지는 수심과 속도수두를 합한 값이다. 이 에너지가 위어를 넘으면서 유량으로 바뀌고, 베르누이 정리에서 유도한 직사각형 위어 식은 수두의 3/2제곱에 비례한다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기 회원용
가입 없이 오늘의 10문제 바로 풀기 →
뜻
에너지의 기준을 먼저 잡는다. 수로 바닥을 기준면으로 두면 단위 중량당 에너지는 수심과 속도수두 V²/2g를 더한 값이 된다. 물이 에너지가 낮은 쪽에서 높은 쪽으로 저절로 흐르지 않는다는 보존 법칙이 개수로 계산의 바탕이다.
위어 식은 이 에너지 보존에서 나온다. 물이 위어 마루를 넘을 때의 수두가 유량을 정하므로, 직사각형 위어의 유량은 베르누이 정리를 적용해 유도한 Q = k·h^(3/2)가 된다. k를 상수로 보면 유량은 월류수심 h의 3/2제곱에 비례한다. 폭 B를 쓰는 프란시스 식은 Q = 1.84 B H^(3/2)이고, 유량계수 Cd를 남긴 일반형은 Q = (2/3)Cd b √(2g) h^(3/2)다.
측정 오차는 지수만큼 커진다. Q가 H의 3/2제곱에 비례하므로 수두의 상대오차는 유량의 상대오차로 1.5배가 되어 ΔQ/Q = (3/2)(ΔH/H)가 된다. 폭 35cm 위어에서 유량이 0.03m³/s일 때 H는 (0.03/(1.84×0.35))^(2/3) ≈ 0.1294m이고, 여기에 1mm의 수두 오차를 넣으면 1.5×0.001/0.1294 ≈ 1.16%가 된다. 지수 3/2를 곱하지 않거나 나눗셈으로 뒤집은 값이 오답이다.
형상이 다르면 지수도 다르다. 직사각형 위어는 3/2제곱, 삼각형 위어는 5/2제곱으로 잡는다. 형상에 따른 지수를 뒤바꾼 선지가 오답이다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 관계 — 유량이 수두의 1차, 1/2차, 2/3차에 비례한다고 적은 선지가 오답이다. ② 오차 — 수두 오차에 3/2를 곱하지 않거나 나눈 값이 오답이다. ③ 계산 — 수두를 유량에서 역산하지 않고 폭이나 유량계수를 잘못 넣은 값이 오답이다.
자주 묻는 물음
- 직사각형 위어의 유량은 수두와 어떤 관계인가요?
- Q = k·h^(3/2)로 수두의 3/2제곱에 비례합니다. k를 상수로 보면 수두가 조금만 커져도 유량은 그보다 빠르게 늘어납니다.
- 수두를 1mm 잘못 재면 유량 오차는 얼마나 되나요?
- 유량의 상대오차는 수두 상대오차의 1.5배입니다. 폭 35cm, 유량 0.03m³/s인 위어에서 수두가 약 0.1294m일 때 1mm 오차는 약 1.16%의 유량 오차가 됩니다.
- 왜 1.5배인가요?
- 유량이 수두의 3/2제곱에 비례하기 때문입니다. 지수 함수에서는 지수값이 상대오차의 배율이 되므로, 수두 오차율에 3/2를 곱하면 유량 오차율이 됩니다.
토목기사 풀이 세트에서 이 개념의 문제 10개를 바로 풀어 보세요.