토목기사 변장계산 및 좌표계산 — 사인법칙·구과량·보정식

변장은 각에서 나온다. 삼각형에서 두 변과 그 사이의 각을 알면 넓이가 S=½ab sinθ로 나오고, 한 변과 두 각을 알면 사인법칙으로 나머지 변장을 구한다. 그래서 관측은 각으로 하고 계산은 변장으로 하는 셈이 된다. 사인법칙을 적용할 때 오차가 가장 적게 번지는 각도가 60° 부근이므로, 망을 정삼각형에 가깝게 구성하는 것이 계산 결과의 정밀도를 지킨다.

구과량이 계산에 먼저 얹힌다. 지구를 평면으로 보지 않기 때문에 구면 삼각형의 내각합은 180°를 넘고, 그 차이가 구과량이다. 삼각형의 면적이 클수록 구과량이 커지고 값은 항상 양(+)이므로, 보정해 평면 값으로 되돌린 다음에 좌표를 계산한다. 구과량은 면적을 지구 곡률반경의 제곱으로 나눈 값에 초 단위 환산을 곱해 구한다.

지구가 둥근 데서 오는 보정도 함께 붙는다. 거리와 높이가 커지면 보정이 필요해지고, 재료가 주는 보정식은 C=−Dh/R 꼴이다. 거리 D와 높이 h가 클수록 보정량이 커지고 지구 반지름 R이 클수록 작아진다. 표고 300m에서 잰 600m 기선을 평균해수면 위 거리로 줄이면 보정량은 음수가 된다. 보정을 빼놓고 좌표를 계산하면 그만큼 어긋난 값이 나온다.

계산에 들어가기 전에 조건을 맞춘다. 삼각점 둘레 각의 합 360°, 삼각형 내각의 합 180°, 변장의 일관성이 조건식이고, 포함면적이 일정해야 한다는 것은 조건식이 아니다. 각관측의 정밀도가 같으면 삼각형에 생긴 각오차는 각의 크기와 무관하게 균등하게 배분한다. 사변형삼각망에서는 각조건으로 조정한 각에 변조건을 이어 적용하며, 변조건 조정에서는 각의 사인값이 각 변화에 따라 달라지는 정도(표차)를 이용해 조정량을 배분한다. 조정 절차의 자세한 내용은 [수평각 측정 및 조정] 카드에서 다룬다.

관측 자체의 오차와 다른 관측 방식도 나온다. 기계를 점 위에 정확히 세우지 못한 편심이 e이고 측점까지 거리가 D이면, 각오차는 편심거리와 거리의 비에 초 단위 환산 206,265를 곱해 구한다. 100m 떨어진 두 점을 5mm 편심으로 관측하면 최대 각오차는 약 10″다. 삼변측량은 각을 재지 않고 세 변의 길이만 관측해 코사인법칙으로 각을 계산하는 방법이며, 관측값 수에 비해 조건식이 적어 과잉관측의 이점이 크다. 세 변 a, b, c에서 c의 대각은 cosC = (a²+b²−c²)/(2ab)로 구하고, a=1200, b=1600, c=1442.22이면 cosC = 0.5로 각 C는 60°다. 대공표지는 상공에서도 삼각점을 찾을 수 있게 설치하며, 천정 시계는 45° 이상 확보해야 한다.