개념 한 쪽
코일 스프링의 처짐과 스프링 상수 문제는 에너지 원리나 표준 공식으로 정리된다. 대표적으로 압축코일 스프링의 처짐 공식과 단순 축력 스프링의 상수 공식이 자주 쓰인다. 단위 통일과 지수의 영향에 주의하여 계산하면 답을 정확히 구할 수 있다.
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출제기준 단원 「카스틸리아노(Castigliano)정리」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 단순보 허용분포하중 계산 | 1 | 허용 굽힘응력과 단면계수로 균일분포하중을 역산하기 |
| 지름 변화에 따른 처짐 비례판단 | 1 | 평균지름 변화가 처짐에 미치는 배수를 판단하기 |
| 코일스프링 감은수 계산 | 1 | 처짐 공식에 단위를 맞춰 감은 회수 n을 계산하기 |
압축코일 스프링의 처짐량은 주어진 공식을 통해 계산한다. 문제에서 반복되는 공식은 δ = (8FD³n) / (G d⁴)로, 처짐 δ는 하중 F와 감은 회수 n에 비례하고, 평균지름 D의 세제곱에 비례하며, 선지름 d의 4제곱에 반비례한다. 전단 탄성계수 G는 재료 특성을 나타내며 단위 통일이 필수이다.
이와 별개로 축력에 의한 스프링 상수는 재료의 탄성계수와 단면, 길이에 의해 결정된다. 단순 봉을 축력 스프링으로 본 경우 스프링 상수 k = EA / L 공식을 사용하며, 여기서 E는 탄성계수, A는 단면적, L은 길이이다. 단위를 미터-파스칼 계로 맞추어 계산해야 결과를 바로 MN/m 같은 단위로 표현할 수 있다.
스프링 설계 문제에서는 각 변수의 차수에 따른 민감도를 이해하는 것이 중요하다. 예컨대 코일의 평균지름 D는 세제곱 항으로 처짐에 큰 영향을 주며, 선지름 d는 4제곱 항으로 더욱 민감하게 작용한다. 따라서 작은 오차가 결과에 큰 영향을 주는 변수들만큼 단위와 지수 취급에 특히 주의해야 한다.
문제 풀이 관점에서는 공식을 외우는 것보다 단위 환산과 공식을 n이나 k로 정리하는 연습이 더 효과적이다. 문제에서 주어진 값을 표준 단위로 바꾸고, 식을 n이나 k에 대해 정리하여 대입하면 계산 실수를 줄일 수 있다.
문제: 선지름이 3 mm인 와이어로 평균 직경 75 mm인 원통형 압축코일을 제작하여 하중 10 N을 가했을 때 처짐을 3 cm로 만들기 위한 감은 회수 n을 구하라(전단탄성계수 G=88GPa).
풀이: 처짐 공식 δ = (8FD³n) / (G d⁴)를 n에 대해 정리하면 n = (δ G d⁴) / (8 F D³)가 된다. 단위 통일을 위해 δ = 30 mm, G = 88×10³ N/mm², d = 3 mm, D = 75 mm, F = 10 N을 대입한다. 계산하면 n ≈ 6.3이 나오므로 따라서 감은 회수 n은 약 6.3으로 계산한다.
추가 예: 길이 0.2 m, 단면적 10 cm², E = 7 GPa인 봉의 스프링 상수는 k = EA / L 공식을 사용한다. 단면적 A = 10×10⁻4 m², E = 7×10⁹ Pa, L = 0.2 m를 대입하면 k = 35×10⁶ N/m = 35 MN/m가 된다.
길이 240cm, 단면의 폭x높이 = 12cmx15cm의 단순보가 ω kN/m의 균일분포하중을 받고 있다. 이보의 허용굽힘응력 σ a = 48 MPa일 때 허용할 수 있는 분포하중의 최대값은?
정답 ② · 단순보가 균일분포하중을 받을 때의 최대 굽힘모멘트는 Mmax = wL²/8 입니다. 보의 길이 L = 240cm = 2.4m 이고, 단면의 폭 b=12cm, 높이 h=15cm 이므로 단면계수 Z = b×h²/6 = (12 × 15²) / 6 = 450 cm³ = 4.5 × 10^-4 m³ 입니다.
단순보의 최대 굽힘모멘트 wL²/8과 허용응력 σ=M/Z 공식을 연계하여 분포하중 w를 구한다.
코일스프링의 평균지름 D를 2배로 하면 같은 조건에서 처짐은 몇 배가 되는가?
정답 ④ · 코일스프링의 평균지름 변화가 처짐에 미치는 영향을 묻는 문제이다. 코일스프링의 처짐은 δ=8FD세제곱n/(Gd네제곱)으로 표현되며 하중, 와선수, 선지름이 같으면 평균지름 D의 세제곱에 비례한다.
코일스프링 처짐은 평균지름의 세제곱에 비례하므로 지름 2배 시 2^3=8배가 된다.
알루미늄의 탄성계수는 약 7GPa이다. 길이 20cm, 단면적 10cm²인 봉을 축력을 받는 스프링으로 사용하려할 때, 스프링 상수는 몇 MN/m인가?
정답 ② · 축력을 받는 봉을 스프링으로 볼 때의 스프링 상수를 구하는 문제이다. 봉의 강성은 k = EA/L로 정의된다.
스프링 상수 k는 EA/L이므로, 단위 변환 후 계산하면 35 MN/m가 된다.
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