개념 한 쪽
건설기계설비기사 평면 응력과 평면 변형률 — 주응력·최대전단응력
평면 응력과 평면 변형률은 2차원 평면 내에서 작용하는 수직응력·전단응력과 그에 대응하는 변형률의 관계를 다루는 개념이다. 주평면과 주응력, 모어원과 최대전단응력·변형률 공식을 이해하면 응력 상태와 변형 상태의 핵심 값을 계산할 수 있다. 문제는 주로 주응력·최대전단응력·최대 전단변형률 계산과 비틀림 관련 유도 문제로 출제된다.
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뜻
주평면은 해당 평면에서 전단응력이 0이 되는 가상의 면을 말하며, 그 면에서는 수직응력만 작용한다. 주평면의 정의상 전단응력이 소거되므로 이 면에서의 수직응력은 최대 또는 최소 값을 가진다. 따라서 주평면과 최대 전단평면(전단응력이 최대인 평면)을 혼동하지 않아야 한다.
평면응력 상태에서는 두 방향의 수직응력 σx, σy와 전단응력 τxy로 표현되며, 주응력 σ1, σ2는 σ1,2 = (σx+σy)/2 ± √[((σx-σy)/2)² + τxy²] 로 구한다. 이 식에서 평균응력(σx+σy)/2는 모어원의 중심, 루트 부분은 모어원의 반지름에 해당한다. 최대 수직응력은 더 큰 주응력 σ1이고, 최대 전단응력 τmax는 주응력 차이의 절반 또는 모어원 반지름 R과 동일하다.
평면 변형률에서는 εx, εy, γxy(공칭 전단변형률)가 주어지면 면내 최대 전단변형률 γ_max를 γ_max = √[(εx-εy)² + γxy²]로 계산한다. 이 관계는 모어원 형식의 변형률 표현과 일치하며 εx와 εy의 부호 처리에 주의해야 한다.
비틀림 문제에서는 축 단면의 형상계수(Zp)와 비틀림 공식 φ = TL/(JG), τmax = Tc/J 등을 결합하여 길이·모멘트·각변위 등을 유도한다. 특히 φ와 τ 관계를 결합하면 φ = τL/(Gc) 또는 L = φGc/τ 같은 식으로 J나 T를 알지 못해도 길이를 구할 수 있다.
예제
예시 1 — 주응력 계산(예: σx가 60 MPa, σy가 50 MPa, τxy가 30 MPa): 평균응력은 (60+50)/2 = 55 MPa이고, 모어원 반지름은 √[((60-50)/2)² + 30²] = √(25 + 900) ≈ 30.4 MPa이다. 따라서 주응력은 σ1 = 55 + 30.4 = 85.4 MPa, σ2 = 55 - 30.4 = 24.6 MPa가 된다.
예시 2 — 면내 최대 전단변형률 계산(예: εx가 900×10⁻⁶, εy가 -100×10⁻⁶, γxy가 600×10⁻⁶): 먼저 εx - εy = 1000×10⁻⁶이다. γ_max = √[(εx-εy)² + γxy²] = √[(1000)² + 600²]×10⁻⁶ = √1,360,000×10⁻⁶ ≈ 1166×10⁻⁶이다.
자주 묻는 물음
- 주평면과 최대 전단평면은 어떻게 구별하나?
- 주평면은 전단응력이 0이 되는 면으로 그곳에서는 수직응력만 존재한다. 최대 전단평면은 전단응력이 최대가 되는 면으로 주평면과는 성질이 다르므로 '전단=0'이 성립하는지로 구별한다.
- 평면응력에서 최대 전단응력 τmax는 어떻게 구하나?
- τmax는 모어원 반지름 R과 같으며 R = √[((σx-σy)/2)² + τxy²]로 계산한다. τxy가 0이면 τmax는 |(σx-σy)|/2와 같다.
- 변형률에서 면내 최대 전단변형률은 어떤 공식으로 구하나?
- γ_max = √[(εx - εy)² + γxy²] 공식을 사용한다. εx, εy의 부호를 그대로 반영하여 차이를 구한 뒤 제곱합의 제곱근을 취한다.
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