개념 한 쪽
건설기계설비기사 모어 원 — 평면응력과 변형률 변환
모어 원은 평면응력이나 면내 변형률 상태에서 주응력·최대 전단응력·주변형률을 구하는 그래픽·수식적 도구이다. 모어 원을 통해 평균값과 반지름(또는 중심과 반지름) 개념으로 응력과 변형률의 극값을 계산한다. 시험 문제는 주응력·최대 전단응력·면내 최대 전단변형률 계산을 직접 물어보거나, 주평면의 정의를 묻는 형태로 출제된다.
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뜻
모어 원은 평면응력 상태에서 σx, σy, τxy가 주어지면 주응력 σ1, σ2와 최대 전단응력 τmax를 구하는 방법을 제공한다. 수식으로는 σ1,2 = (σx+σy)/2 ± √[((σx-σy)/2)² + τxy²]이며, 최대 전단응력 τmax는 모어 원의 반지름 R = √[((σx-σy)/2)² + τxy²]와 같다. τxy가 0인 경우에는 주응력이 σx와 σy와 일치하고 τmax는 |(σx-σy)/2|가 된다.
주평면은 영어로 principal plane이라 하며, 그 면에서 전단응력이 0이 되는 면으로서 그 면에서 작용하는 수직응력이 주응력이다. 주평면에서는 전단응력이 소거되어 오직 수직응력만 존재하며, 그 수직응력이 최대 또는 최소의 값을 가진다. 문제를 풀 때는 '주평면 = 전단응력 0'이라는 정의를 우선 적용한다.
변형률 측면에서도 모어 원 원리가 동일하게 적용된다. 수직 변형률 εx, εy와 전단변형률 γxy가 주어지면 주변형률(주변형률) ε1,2는 ε1,2 = (εx+εy)/2 ± √[((εx-εy)/2)² + (γxy/2)²]로 구한다. 면내 최대 전단변형률 γ_max는 γ_max = √[(εx-εy)² + γxy²] 공식을 이용하여 계산한다.
모어 원 문제는 평균값(중심)과 반지름(모어 원 반지름)을 분리하여 단계적으로 계산하면 실수 없이 풀기 쉽다. 평균을 먼저 구하고 반지름을 계산한 뒤 더하고 빼는 순서를 지키면 시간이 절약된다.
예제
예제 1 — 평면응력에서 주응력과 최대 전단응력 구하기: 예를 들어 σx가 700MPa이고 σy가 -300MPa이며 τxy는 0일 때 평균응력은 (700 + (-300))/2 = 200MPa이다. 반지름은 |(σx-σy)/2| = |(700-(-300))/2| = 500MPa이므로 주응력은 200 ± 500로 σ1=700MPa, σ2=-300MPa가 되며 최대 전단응력 τmax는 500MPa이다.
예제 2 — 주응력 계산 실례: σx가 60MPa, σy가 50MPa, τxy가 30MPa이면 평균응력은 55MPa이고 반지름은 √[((60-50)/2)² + 30²] = √(25 + 900) ≈ 30.4MPa이다. 따라서 σ1=55+30.4≈85.4MPa, σ2=55-30.4≈24.6MPa가 된다.
예제 3 — 면내 최대 전단변형률: εx는 900×10⁻⁶, εy는 -100×10⁻⁶, γxy는 600×10⁻⁶으로 주어지면 εx-εy = 1000×10⁻⁶이므로 γ_max = √[(1000×10⁻⁶)² + (600×10⁻⁶)²] ≈ 1166×10⁻⁶이 된다.
자주 묻는 물음
- 모어 원을 쓸 때 먼저 무엇을 계산해야 하나?
- 먼저 평균값(σx+σy)/2 또는 (εx+εy)/2를 계산하고, 이어서 반지름 R = √[((σx-σy)/2)² + τxy²] 또는 변형률의 경우 R = √[((εx-εy)/2)² + (γxy/2)²]을 계산한 뒤 더하고 빼서 극값을 구하라.
- 주평면의 정의는 무엇인가?
- 주평면은 그 면에서 전단응력이 0이 되는 면이며, 그 면에서 작용하는 수직응력이 최대 또는 최소인 주응력이다.
- τxy=0인 평면응력에서는 어떤 간단한 결론을 얻는가?
- τxy가 0이면 주응력은 원래의 σx와 σy이며 최대 전단응력은 |(σx-σy)/2|가 된다.
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