개념 한 쪽
원통형·구형 압력용기와 봉재에 작용하는 응력과 체적변형률 계산은 얇은 벽 근사를 이용하여 간단한 공식으로 처리한다는 점을 숙지한다. 원주방향 응력과 축방향 응력의 비, 구형과 원통형 용기 공식의 계수 차이, 그리고 체적변형률의 정의를 정확히 이해하면 관련 문항을 빠르게 해결할 수 있다.
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출제기준 단원 「삼축 응력상태(Bulkmodulus & Dilatation)」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 원통형 용기 내압 한계 계산 | 1 | 주응력 또는 허용응력으로 원통형 용기의 허용내압을 계산하는 방법을 묻는다 |
| 순수전단(축응력=0) 하중 결정 | 1 | 관 내부압으로 발생한 인장력을 상쇄할 축방향 압축하중을 구하는 절차를 묻는다 |
| 원통형 용기 응력 공식 적용 | 1 | 축방향과 후프응력 공식을 이용한 응력값 산출을 묻는다 |
얇은 원통형 압력용기에서는 원주방향(후프) 응력 σ_h와 축방향(종방향) 응력 σ_l를 구분하여 사용한다는 점을 기억한다. 후프응력은 σ_h = P·r / t 또는 σ_h = 2P·t / D 형태로 나타내며, 축방향 응력은 σ_l = P·r / (2t)로 나타나 후프응력이 축방향 응력의 2배가 된다는 관계가 성립한다는 점을 설명한다.
구형(spherical) 압력용기에서는 응력 계수가 달라지므로 구형 공식은 σ = P·d / (4t) 또는 t = P·d / (4σ)로 쓴다는 점을 명확히 한다. 원통형의 계수 2와 구형의 계수 4 차이는 형상에 따른 응력 분산 차이에서 기인한다는 원리를 전달한다.
압력용기 설계에서는 최대 사용강도와 안전계수의 적용 여부를 문맥에서 판단해야 한다는 점을 강조한다. 안전계수를 적용하면 허용응력 σ_allow = σ_max / Sf가 되고, 이를 사용해 허용내압을 계산하므로 문제 지문에서 안전계수 적용 여부를 반드시 확인해야 한다는 실무 규칙을 제시한다.
봉재에 작용하는 체적변형률은 축방향 변형률과 프와송비 ν의 조합으로 계산한다는 점을 설명한다. 체적변형률 ε_v는 ε_v = ε(1 - 2ν) 또는 ε_v = (σ/E)(1 - 2ν)로 표현하며, 응력 σ와 탄성계수 E, 프와송비 ν가 주어지면 바로 체적변형률을 구할 수 있다는 공식을 제시한다.
실전에서는 단위 통일과 반지름(r)·지름(D) 사용 구분을 철저히 하여 계산 단위 실수를 피해야 한다는 점을 권고한다. 예를 들어 압력 단위를 MPa로, 길이 단위를 m 또는 mm로 통일하면 결과 단위가 일관되게 나온다는 실전 요령을 제시한다.
예제 1 — 순수전단 조건으로 양단을 막은 얇은 강관 문제 처리 방법을 설명한다. 지름 80mm, 두께 1mm, 내압 P=2MPa일 때 관벽의 축방향 응력(인장력)을 0으로 만들려면 외부에서 가하는 축압축하중을 구해야 한다는 접근을 제시한다. 얇은 원통의 축방향 응력 식 σ_l = P·r / (2t)을 기초로 하되, 양단 막힘으로 인한 압력 저항까지 고려하면 단순 관벽 인장력(약 25.13 kN)보다 큰 총 평형 하중이 필요하므로 계산 결과 약 30.16 kN의 압축하중을 가해야 순수전단(축응력=0) 상태가 된다는 결론을 제시한다.
예제 2 — 원통형 용기의 한계압력 계산 예시를 제시한다. 지름 1.5 m, 두께 3 mm, 최대 사용강도 σ_max = 240 MPa, 안전계수 Sf = 2일 때 허용응력 σ_allow = 120 MPa를 적용하여 원주응력 기준으로 허용내압을 구하는 방법을 보인다. 원주응력 공식 P = 2·σ_allow·t / D에 값을 대입하면 P = 2 × 120 MPa × 0.003 m / 1.5 m = 480 kPa가 되어 지탱할 수 있는 한계압력이 480 kPa가 된다는 계산 절차를 제시한다.
최대 사용강도(σmax)=240 MPa, 직경 1.5 m, 두께 3 ㎜의 강재 원통형 용기가 견딜 수 있는 압력은 몇 kPa 인가?(단, 안전계수(Sf)는 2이다.)
정답 ③ · 원통형 용기의 얇은 벽에 발생하는 호오방향 응력은 σ = P×r/t 공식으로 구합니다. 안전계수를 고려한 허용응력은 σa = σmax / Sf = 240 / 2 = 120 MPa 입니다.
얇은 원통의 호오방향 응력 σ = Pr/t 공식을 안전계수로 나누어 허용 압력을 구한다.
지름 80mm, 두께 1mm의 짧은 강관 토막의 양단을 막고 그 속에 압력 2 MPa의 기체를 넣는다. 관벽을 순수전단 상태로 만들기 위해서는 그 양단에 몇 kN의 축 압축하중을 가하여야 하는가?
정답 ② · 얇은 원통의 관벽에 작용하는 축방향 응력(σ_x)은 σ_x = p*r/(2t) 이고 둘레방향 응력(σ_y)은 σ_y = p*r/t 입니다. 순수전단 상태가 되기 위해서는 축방향의 주응력이 0이 되어야 합니다.
순수전단 상태는 축응력 0이므로, 내압에 의한 인장력을 상쇄할 압축하중은 30.16kN이다.
직경이 1.5m, 두께가 3mm인 원통형 강재 용기의 최대 사용강도가 240 MPa 일 때 지탱할 수 있는 한계 압력은 몇 kPa인가? (단, 안전계수는 2이다.)
정답 ② · 원통형 압력 용기의 한계 압력을 안전계수를 고려해 구하는 문제이다. 얇은 원통형 용기에서 원주 방향 응력이 축 방향 응력의 두 배로 가장 크므로 σ = pr/t를 기준으로 한다.
원통형 용기의 두께 방향 응력(후벽 압력) 공식 σ=pr/2t를 사용하며, 안전계수로 나누어 허용 압력을 구한다.
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