개념 한 쪽
원형·구형 압력용기에서 내부압력이 벽에 발생시키는 응력은 설계의 핵심이며, 용기 형식(원통형·구형)에 따라 사용하는 공식이 다르다. 안전계수 적용 여부와 단위 통일, 반지름·직경 변수 구분이 정답 결정에 직결된다.
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출제기준 단원 「원심력에 의한 응력」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 원통형 내압 계산(안전계수 포함) | 1 | 허용응력 또는 최대강도와 치수로 원통형 내압을 계산하기 |
| 축응력 평형(순수전단 조건) | 1 | 내압에 의한 인장력을 상쇄할 축방향 압축하중을 구하기 |
| 원형·구형 용기 치수 도출 | 1 | 구형 또는 원통형 공식을 이용해 내경·외경을 역산하기 |
얇은 원통형 압력용기에서는 두 가지 주요 응력이 발생한다. 원주방향 응력(후프응력)은 σ_h = P·r / t 또는 σ_h = P·D / (2t)로 주어지고, 축방향 응력(종방향 응력)은 σ_l = P·r / (2t)로 주어진다. 후프응력은 축방향 응력의 두 배가 된다는 관계를 자주 이용한다.
구형(spherical) 용기의 경우 응력 식이 달라서 얇은 구의 허용응력은 σ = P·d / (4t) 또는 σ = P·d/(4t)로 표현되며, 이로부터 내경을 구하면 d = 4σt / P가 된다. 따라서 원통형과 구형의 분모에 들어가는 상수가 다름을 명확히 기억해야 한다.
설계 과정에서 안전계수 적용 여부가 중요하다. 문제에서 최대 사용강도와 안전계수 둘 다 주어지면 허용응력은 최대사용강도를 안전계수로 나누어 얻거나, 문제 의도에 따라 최대강도 자체를 사용할 수 있으므로 문맥을 확인해야 한다. 단위 통일(예: MPa와 kPa, mm와 m)을 반드시 선행해야 계산 오류를 피한다.
압력용기와 관련된 일부 문제는 '순수전단' 등의 조건을 제시하며, 이는 특정 주응력을 0으로 만든다는 의미다. 예를 들어 얇은 원통에서 축응력이 0인 상태를 요구하면, 내압으로 생기는 인장력을 상쇄할 축방향 압축하중을 계산해서 평형을 맞춰야 한다.
대표 계산 1 — 얇은 원통형 내압에서 허용응력을 사용한 경우: 최대 사용강도 240MPa, 안전계수 2, 직경 1.5m, 두께 3mm일 때 허용응력은 120MPa다. 원통형 공식 P = 2σt / D 또는 P = σ·t / r을 사용하여 P = 2×120MPa×0.003m / 1.5m = 480kPa를 얻는다. 문제 문맥에 따라 안전계수를 적용하지 않은 경우 σmax를 그대로 쓰면 P = 960kPa가 됨을 확인한다.
대표 계산 2 — 구형 용기의 최대 내경 계산: 허용 인장응력 σw = 800kN/cm², 두께 t = 3mm(0.3cm), 내압 P = 20kN/cm²일 때 구형 공식 σ = P·d / (4t)을 이용하여 d = 4σw t / P = (4×800×0.3)/20 = 48cm가 됨을 보인다. 원통형과 구형의 분모 상수 차이를 혼동하지 않아야 한다.
추론 팁: 공식을 외울 때 '구형 분모에 4, 원통형 분모에 2'라는 대비법을 사용하고, 단위 변환을 맞춘 뒤 식에 대입하여 계산한다.
최대 사용강도(σmax)=240 MPa, 직경 1.5 m, 두께 3 ㎜의 강재 원통형 용기가 견딜 수 있는 압력은 몇 kPa 인가?(단, 안전계수(Sf)는 2이다.)
정답 ③ · 원통형 용기의 얇은 벽에 발생하는 호오방향 응력은 σ = P×r/t 공식으로 구합니다. 안전계수를 고려한 허용응력은 σa = σmax / Sf = 240 / 2 = 120 MPa 입니다.
얇은 원통의 호오방향 응력 σ = Pr/t 공식을 안전계수로 나누어 허용 압력을 구한다.
지름 80mm, 두께 1mm의 짧은 강관 토막의 양단을 막고 그 속에 압력 2 MPa의 기체를 넣는다. 관벽을 순수전단 상태로 만들기 위해서는 그 양단에 몇 kN의 축 압축하중을 가하여야 하는가?
정답 ② · 얇은 원통의 관벽에 작용하는 축방향 응력(σ_x)은 σ_x = p*r/(2t) 이고 둘레방향 응력(σ_y)은 σ_y = p*r/t 입니다. 순수전단 상태가 되기 위해서는 축방향의 주응력이 0이 되어야 합니다.
순수전단 상태는 축응력 0이므로, 내압에 의한 인장력을 상쇄할 압축하중은 30.16kN이다.
두께 5mm의 연강판으로 2Mpa의 내압에 견디는 원통을 만들려고 한다. 허용응력이 60MPa이라면 안지름은 최대 몇 cm로 하면 되겠는가?
정답 ① · 얇은 두께의 원통형 압력 용기에서 주요하게 발생하는 후프 응력(Hoop Stress) 공식은 σ = (p × D) / (2 × t) 입니다. 내압 p=2 MPa, 원통의 두께 t=5 mm, 허용 응력 σ=60 MPa일 때, 안전한 최대 내경 D를 구해야 합니다.
후프 응력 공식 σ=pD/2t에 내압 p=2MPa, 두께 t=5mm, 허용응력 σ=60MPa를 대입하면 D=30cm가 된다.
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