양단이 핀으로 고정되어 있고, 정사각형의 단면 25 mm x 25 mm, 길이 1.8 m인 기둥에서의 오일러식에 의한 임계 하중은 몇 kN 인가?(단, 탄성계수 E = 70 GPa 이다.)
- 1.302
- 2.604
- 3.470
- 6.941
정답과 해설 보기
정답 ④ · 양단 핀 고정 기둥의 길이계수 K = 1 이다. 단면 2차 모멘트 I = b*h³/12 = 0.025 * 0.025³ / 12 = 3.255 × 10^-8 m⁴ 이다.
개념 한 쪽
건설기계설비기사 회전 반경 — 오일러 좌굴과 유효길이·단면이차모멘트
기둥의 좌굴 거동을 판단할 때 오일러 공식과 유효길이 계수, 단면이차모멘트가 핵심 변수로 작용한다는 사실을 이해해야 한다. 문제 유형은 경계조건에 따른 유효길이 적용, 최소 관성모멘트 선택, 그리고 안전계수나 허용하중으로부터 치수를 역산하는 계산 방식으로 반복 출제된다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기 회원용
가입 없이 오늘의 10문제 바로 풀기 →
시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「회전 반경」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 직사각형 단면 좌굴 하중 계산 | 1 | 약축 관성모멘트와 유효길이 적용으로 임계하중 계산하기 |
| 지지조건에 따른 유효길이 판정 | 1 | 지지조건(K)을 확인해 유효길이와 좌굴 길이 판정하기 |
| 정사각·사각 단면 임계하중 계산 | 1 | 단면계산(I)과 단위통일로 오일러 임계하중 산출하기 |
뜻
기둥의 좌굴 임계하중은 오일러 공식 Pcr = π² E I / (K L)²로 표현된다. 여기서 E는 탄성계수, I는 단면 2차 모멘트, L은 실제 길이이며 K는 지지조건에 따른 길이계수이다. 지지조건에 따라 K 값은 양단 힌지(회전단) K=1, 양단 고정 K=0.5, 일측 고정-타측 자유 K=2 등이 사용된다는 사실이 반복적으로 제시된다.
단면이차모멘트 I는 단면 형상에 따라 달라진다. 원형 단면의 경우 I = π d⁴ / 64를 사용하며, 직사각형 단면의 경우 약축 방향으로 좌굴이 발생하므로 I = b h³ / 12 공식을 이용하여 작은 치수를 높이(h)로 취급해야 한다. 문제에서는 약축 관성모멘트를 항상 우선 적용하도록 안내가 반복된다.
문제 풀이에서는 단위 통일이 중요하다. 보통 E는 GPa 또는 Pa 단위로 주어지며 단면 치수는 mm나 m로 주어지므로 N, Pa, m 단위를 일관되게 사용하여 계산해야 한다는 지적이 여러 문항에서 제시된다. 또한 유효길이 Le = K L을 먼저 정립한 뒤 오일러 식에 대입하는 절차가 권장된다.
오일러 공식의 적용 한계에 관한 문항도 출제된다. 오일러 공식이 타당한 세장비의 한계를 λ = √(2π²E/σB)로 표현하는 형식이 있으며, 지지조건에 따른 계수 n을 포함하여 결과를 나타내는 문제도 존재한다. 이로써 재료의 항복특성이나 허용응력과의 비교를 통해 오일러 적용 가능 여부를 판단하도록 요구한다.
예제
예제 1 — 직사각형 단면 좌굴 임계하중 계산 절차를 보인다. 단면 가로 100 mm, 세로 50 mm, L = 4 m, E = 100 GPa일 때 약축 관성모멘트 I = b h³ / 12 = 100×50³/12 mm⁴ = 1,041,667 mm⁴를 사용한다. 이를 m⁴로 환산하여 E와 함께 오일러 식 Pcr = π² E I / L²에 대입하면 약 64.4 kN이 산출된다. 핵심은 약축 I 사용과 유효길이 K=1(양단 힌지) 적용 및 단위 통일이다.
예제 2 — 원형 단면의 좌굴 임계하중 계산 절차를 보인다. 지름 d = 2 cm, L = 1 m, 지지조건이 회전단(K=1), E = 200 GPa일 때 I = π d⁴ / 64를 먼저 구한다. 이 값을 오일러 식에 대입하면 약 15.5 kN가 산출된다. 핵심은 I 공식의 적용과 K 값 확인이다.
대표 기출 3문항
내경 8 cm, 외경 12 cm의 주철제 중공 기둥에 P= 90 kN의 하중이 작용될 때, 양단이 핀으로 고정되었다면 오일러의 좌굴길이는 몇 m 인가? (단, 탄성계수 E = 13 GPa이다.)
- 1.08
- 3.42
- 6.04
- 10.8
정답과 해설 보기
정답 ② · 양단이 핀으로 지지된 기둥의 오일러 좌굴 길이(유효 길이)를 묻는 문제이다. 좌굴 길이는 유효 길이 계수 K와 실제 길이 L의 곱인 Le=K×L로 정의되며, 양단 핀 지지 조건에서는 K=1이므로 좌굴 길이는 실제 길이와 같아진다.
오일러 좌굴 길이는 유효 길이 계수 K와 실제 길이 L의 곱으로, 양단 핀 지지 시 K=1이므로 유효 길이는 실제 길이와 같다.
부재의 양단이 자유롭게 회전할 수 있도록 부하되고, 길이가 4 m이고 단면이 직사각형(100 mm × 50mm)인 압축 부재의 좌굴 하중을 오일러 공식으로 구하면 몇 kN인가? (단, 탄성계수 E = 100 GPa 이다.)
- 52.4 kN
- 64.4 kN
- 72.4 kN
- 84.4 kN
정답과 해설 보기
정답 ② · 양단이 회전 자유인 압축 부재의 오일러 좌굴 하중을 구하는 문제이다. 양단 핀 지지(회전 자유)일 때 유효길이계수는 1이므로 Pcr = π²EI/L²을 그대로 쓴다.
오일러 좌굴 하중 Pcr=π^2EI/L^2이므로, 관성모멘트 계산 후 대입하면 64.4kN이다.
자주 묻는 물음
- 오일러 공식에서 K값은 어떻게 결정하나?
- K값은 기둥의 지지조건에 따라 정한다. 양단 힌지(회전단)는 K=1, 양단 고정은 K=0.5, 일측 고정-타측 자유는 K=2로 적용한다.
- 직사각형 단면 기둥의 I는 어떤 변수를 기준으로 계산하나?
- 좌굴은 약축 방향으로 먼저 발생하므로 I는 b h³ / 12 공식을 사용하고, 여기서 h는 휘어짐이 발생하는 방향의 짧은 치수로 취급한다.
- 오일러 공식을 적용할 수 있는 한계는 어떻게 판단하나?
- 오일러 공식 적용 한계는 세장비 λ로 판단한다. λ = √(2π²E/σB) 공식을 사용하여 재료의 탄성계수와 허용응력(또는 좌굴응력)을 대입해 한계를 구한 뒤 적용 여부를 결정한다.
이 개념 문제 10개 풀기 회원용
건설기계설비기사 풀이 세트에서 이 개념의 문제 10개를 바로 풀어 보세요.