코일스프링의 평균지름 D를 2배로 하면 같은 조건에서 처짐은 몇 배가 되는가?
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정답과 해설 보기
정답 ④ · 코일스프링의 평균지름 변화가 처짐에 미치는 영향을 묻는 문제이다. 코일스프링의 처짐은 δ=8FD세제곱n/(Gd네제곱)으로 표현되며 하중, 와선수, 선지름이 같으면 평균지름 D의 세제곱에 비례한다.
코일스프링 처짐은 평균지름의 세제곱에 비례하므로 지름 2배 시 2^3=8배가 된다.
개념 한 쪽
건설기계설비기사 처짐과 응력의 조합문제 — 처짐 공식과 단면계수
보의 처짐과 보 내부의 응력은 하중, 지지조건, 단면 형상 및 재료특성에 따라 결정된다. 대표적인 처짐 공식과 단면 2차 모멘트, 단면계수 공식을 활용하여 하중이나 치수, 허용응력 등을 상호 구할 수 있다. 스프링의 처짐은 평균지름과 선지름, 감은 회수 등의 차수 의존성이 크므로 관련 공식을 숙지해야 한다. 단위를 일관되게 맞추어 SI 단위로 계산하는 습관을 들이면 계산 실수를 줄일 수 있다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「처짐과 응력의 조합문제」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 스프링 지름 변화의 영향 | 1 | 코일스프링 평균지름 변화에 따른 처짐 배수 판단 |
| 외팔보 끝단 처짐 계산 | 1 | 외팔보 자유단에 작용하는 집중하중에서 최대처짐 계산 |
| 단순보에서 하중 역산 | 1 | 단순보 중앙 집중하중을 처짐으로부터 역으로 구하는 계산 |
뜻
단순보, 외팔보, 양단고정보 등 지지조건에 따라 처짐량과 처짐각의 공식 계수가 달라지므로 경계조건을 먼저 확인해야 한다. 예를 들어 등분포하중을 받는 단순보의 최대 처짐은 δ = 5wL⁴/(384EI)이고, 외팔보의 끝단 처짐은 δ = PL³/(3EI)이다. 각 공식에서 분자에 있는 항목들은 처짐에 정비례하고 분모에 있는 항목들(E, I)은 처짐에 반비례한다는 점을 기억해야 한다.
단면 2차 모멘트 I는 단면 형상에 따라 달라지며, 직사각형 단면의 경우 I = bh³/12를 사용한다. 단면계수 Z는 굽힘응력 계산 시 필요하며 직사각형 단면에서는 Z = bh²/6으로 표현된다. 굽힘응력은 σ = M/Z로 계산하므로 모멘트와 단면계수의 조합으로 두께나 허용응력 문제를 풀 수 있다.
코일 스프링과 압축코일 스프링의 처짐 공식은 스프링 형상과 재료 상수에 민감하며, 압축코일 스프링의 경우 δ = (8FD³n)/(Gd⁴) 관계를 사용하여 감은 회수 n을 구하거나 지름 변화가 처짐에 미치는 영향을 판단할 수 있다. 이 공식에서 평균지름 D는 세제곱으로, 선지름 d는 네제곱으로 영향력을 가진다.
처짐 문제 풀이의 일반 절차는 치수와 재료 계수의 단위 통일 → 관련 공식 선택 → I 또는 Z 계산 → 공식에 대입하여 미지수 해결의 순서로 정리할 수 있다. 단위 변환 시 GPa→Pa, kN→N, cm→m 또는 mm 단위 체계를 헷갈리지 않도록 주의해야 한다.
예제
문제 유형 1 — 외팔보 자유단 집중하중의 처짐을 계산하는 대표 예시는 δ = PL³/(3EI) 공식을 적용하는 것이다. 예를 들어 P=8kN, L=1.5m, b=300mm, h=100mm, E=200GPa일 때 단면 2차 모멘트 I = bh³/12 = 2.5×10⁷ mm⁴로 계산하고 단위를 N·mm로 통일하여 대입하면 δ = 1.8 mm가 된다. 단위 일관성 유지와 I 계산에서 높이의 세제곱 적용을 확인하는 절차가 핵심이다.
문제 유형 2 — 단순보 중앙에 작용하는 집중하중을 구하는 역문제는 δ = PL³/(48EI)를 P에 대해 정리하여 P = 48EIδ/L³로 계산한다. 예시로 L=2m, b=0.04m, h=0.06m, E=200GPa, δ=0.005m를 대입하면 I=7.2×10⁻⁷ m⁴을 통해 P≈4320 N을 얻는다. 단위 변환을 소홀히하면 수치에 큰 오차가 발생하므로 주의한다.
대표 기출 3문항
폭 30 cm, 높이 10 cm, 길이 1.5 m의 외팔보의 자유단에 8 kN 의 집중하중을 작용시킬 때의 최대처짐은 몇 mm 인가? (단, 탄성계수 E = 200 GPa 이다.)
- 2.5
- 2
- 1.5
- 1.8
정답과 해설 보기
정답 ④ · 외팔보 자유단에 집중하중이 작용할 때의 최대 처짐을 계산하는 문제이다. 처짐 공식은 δ=PL 세제곱/(3EI)이고, 단면 2차 모멘트는 I=bh 세제곱/12=300×100 세제곱/12=2.5×10의 7제곱 mm 네제곱이다.
외팔보의 최대처짐 δ=PL^3/(3EI) 공식을 적용하면, 주어진 조건에서 1.8mm가 나온다.
단면[폭×높이]이 4cm×6cm이고 길이가 2m인 단순보의 중앙에 집중하중이 작용할 때 최대처짐이 0.5cm라면 집중하중은 몇 N인가? (단, 탄성계수 E=200GPa이다.)
- 5520
- 3300
- 2530
- 4320
정답과 해설 보기
정답 ④ · 단순보 중앙 집중하중에 대한 최대 처짐 공식을 이용해 하중을 역산하는 문제이다. 먼저 단면 2차 모멘트를 구하면 I = bh³/12 = (0.04×0.06³)/12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴이다.
단순보 중앙 집중하중 처짐 공식 δ=PL³/48EI에 모든 단위를 SI 단위로 통일하여 대입하면 하중 P를 구할 수 있다.
자주 묻는 물음
- 처짐 공식을 적용할 때 가장 먼저 확인할 것은 무엇인가?
- 보의 지지조건과 하중 형태를 확인하여 올바른 처짐 공식을 선택해야 한다; 또한 모든 단위를 SI 단위로 통일하여 계산해야 한다.
- 단면 2차 모멘트 I와 단면계수 Z의 차이는 무엇인가?
- I는 단면의 기하학적 저항을 나타내는 값으로 처짐과 관련되며, Z는 굽힘모멘트에 대한 응력 계산에 쓰이는 단면계수로 Z = I/(최극선까지의 거리) 형태로 정의되므로 굽힘응력 σ = M/Z를 사용하여 설계 문제를 해결한다.
- 스프링 처짐에서 평균지름 D와 선지름 d의 영향은 어떻게 되는가?
- 압축코일 스프링의 처짐식 δ=(8FD³n)/(Gd⁴)에서 D는 세제곱에 비례하므로 D가 2배이면 처짐은 8배가 되고, d는 네제곱에 반비례하므로 선지름이 작아질수록 처짐이 급격히 증가한다.
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