개념 한 쪽
보에 하중이 작용하면 휘어지며 생기는 처짐을 여러 공식으로 계산한다. 처짐량과 처짐각은 하중 형태와 지지 조건, 단면 형상 및 재료 탄성계수에 따라 달라진다.
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출제기준 단원 「보의 처짐」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 외팔보 끝 하중 처짐 계산 | 1 | 외팔보 자유단 집중하중에 대한 최대처짐값을 계산하기 |
| 단순보 처짐으로 하중 역산 | 1 | 단순보 중앙 처짐으로 집중하중 크기를 구하기 |
| 등분포하중 처짐 비교 | 1 | 단순보와 양단 고정보의 등분포하중 중앙 처짐 비를 판단하기 |
보의 처짐량과 처짐각은 하중의 종류(집중하중, 등분포하중), 보의 지지조건(외팔보, 단순보, 양단고정보 등), 그리고 보의 강성을 결정하는 항들(E, I)에 의해 결정된다. 여기서 E는 탄성계수로 재료의 단단함을 나타내고 I는 단면 2차 모멘트로 단면 형상에 따른 저항성을 나타낸다.
대표적인 공식은 하중 형태와 경계조건별로 정해진다. 예를 들어 외팔보의 자유단 집중하중에 대한 최대처짐은 δ = PL^3 / (3EI)이고, 단순보에 등분포하중이 작용할 때 중앙 최대처짐은 δ = 5wL^4 / (384EI)이다. 처짐은 분자에 있는 하중·길이 항들에 비례하고 분모의 E, I에 반비례한다는 원리를 기억한다.
단면 2차 모멘트는 단면 형상에 따라 달라진다. 직사각형 단면의 경우 I = b h^3 / 12이고 원형 단면의 경우 I = π d^4 / 64이다. 따라서 같은 재료라면 단면의 높이(h)가 커질수록 I가 크게 증가하여 처짐이 급격히 줄어든다.
스프링과 같은 탄성요소에서도 유사한 처짐 공식이 존재한다. 압축 코일 스프링의 처짐 공식 δ = 8 F D^3 n / (G d^4)에서 감은 회수 n은 처짐과 비례하고 선지름 d의 4제곱에 반비례한다. 이처럼 구조물의 처짐문제는 관련 공식을 정확히 적용하고 단위를 일관되게 사용하는 것이 핵심이다.
예 1: 외팔보의 끝 하중 처짐 계산 예시. 단면 너비가 30센티미터이고 두께가 10센티미터이며 보의 길이가 1.5미터이고 자유단에 8kN가 작용할 때 최대처짐은 δ = PL^3 / (3EI)를 사용한다. 단위 통일을 거쳐 I = b h^3 / 12 = 300×100^3/12 = 2.5×10^7 mm^4, P = 8000 N, L = 1500 mm, E = 200000 N/mm^2를 대입하면 δ = 1.8 mm가 나온다.
예 2: 단순보 중앙 집중하중에서 하중을 역으로 구하는 문제. 단면 4cm×6cm, L = 2 m에서 중앙 처짐 δ = 0.5 cm일 때 단면 2차모멘트 I = 0.04×0.06^3/12 = 7.2×10^-7 m^4, 공식 δ = PL^3 / (48EI)를 P에 대해 정리하면 P = 48 E I δ / L^3 이다. 값을 대입하면 P ≈ 4320 N이 된다.
폭 30 cm, 높이 10 cm, 길이 1.5 m의 외팔보의 자유단에 8 kN 의 집중하중을 작용시킬 때의 최대처짐은 몇 mm 인가? (단, 탄성계수 E = 200 GPa 이다.)
정답 ④ · 외팔보 자유단에 집중하중이 작용할 때의 최대 처짐을 계산하는 문제이다. 처짐 공식은 δ=PL 세제곱/(3EI)이고, 단면 2차 모멘트는 I=bh 세제곱/12=300×100 세제곱/12=2.5×10의 7제곱 mm 네제곱이다.
외팔보의 최대처짐 δ=PL^3/(3EI) 공식을 적용하면, 주어진 조건에서 1.8mm가 나온다.
단면[폭×높이]이 4cm×6cm이고 길이가 2m인 단순보의 중앙에 집중하중이 작용할 때 최대처짐이 0.5cm라면 집중하중은 몇 N인가? (단, 탄성계수 E=200GPa이다.)
정답 ④ · 단순보 중앙 집중하중에 대한 최대 처짐 공식을 이용해 하중을 역산하는 문제이다. 먼저 단면 2차 모멘트를 구하면 I = bh³/12 = (0.04×0.06³)/12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴이다.
단순보 중앙 집중하중 처짐 공식 δ=PL³/48EI에 모든 단위를 SI 단위로 통일하여 대입하면 하중 P를 구할 수 있다.
등분포 하중을 받고 있는 단순보와 잉단 고정보의 중앙점에서의 최대 처짐량의 비는? (단, 보의 굽힘감성 EI는 일정하다.)
정답 ② · 재료역학에서 등분포 하중을 받는 단순보의 중앙점 최대 처짐량은 δ1 = 5wL^4 / (384EI) 입니다. 한편 양단 고정보의 중앙점 최대 처짐량은 δ2 = wL^4 / (384EI) 입니다.
등분포 하중 단순보 처짐 5wL⁴/384EI, 양단 고정보 처짐 wL⁴/384EI이므로 비는 5:1이다.
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