개념 한 쪽
구조부재와 스프링의 탄성 거동은 굽힘응력, 단면계수, 탄성계수, 형상에 따라 결정된다. 보의 허용굽힘응력과 단면계수를 결합하면 허용하중을 산정할 수 있고, 코일스프링의 처짐은 평균지름의 세제곱에 비례한다.
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출제기준 단원 「탄성에너지」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 단순보 허용하중 산정 | 1 | 단면계수와 허용응력으로 분포하중을 역산하는 방법을 묻는다 |
| 외팔보 단면치수 계산 | 1 | 외팔보의 모멘트와 허용응력으로 단면폭을 구하는 과정 요구 |
| 스프링 처짐 비례 판정 | 1 | 코일스프링 평균지름 변화에 따른 처짐 배수 판단 |
보의 굽힘응력은 단면계수 Z와 모멘트 M의 관계 σ = M/Z로 표현된다. 주어진 허용굽힘응력 σa와 단면계수 Z가 있으면 허용모멘트 M = σa·Z를 구하고, 이를 하중-모멘트 관계식에 대입하여 허용하중을 역산한다는 원리를 설명한다.
단면계수 Z는 단면 형상에 따라 달라지며 직사각형 단면의 경우 Z = b h²/6 공식을 사용한다. 따라서 높이가 단면강도에 제곱으로 큰 영향을 미치므로 치수를 서로 바꿀 때 허용하중은 단면계수의 비율로 변한다.
보의 지지 조건과 하중 위치에 따라 모멘트 계수는 달라진다. 예컨대 단순보에 균일분포하중이 작용하면 중앙 최대모멘트는 wL²/8이고, 외팔보 자유단 집중하중의 최대모멘트는 PL이며, 양단 고정보 중앙 집중하중의 최대모멘트는 PL/8이 된다. 이들 관계를 통해 하중과 모멘트, 응력, 단면계수가 연계되어 계산된다는 점을 기억한다.
스프링과 곡률에 의한 굽힘응력은 재료의 탄성계수 E와 곡률 반경 및 표면 거리로부터 산정한다. 코일스프링의 처짐은 평균지름 D의 세제곱에 비례하므로 D를 변경하면 처짐이 D³ 배수로 변한다는 점을 이용해 설계 판단을 한다.
문제 유형: 단순보에 균일분포하중 w가 작용하고 단면이 주어졌을 때 허용응력으로부터 w를 구하는 절차는 다음과 같이 진행한다. 먼저 Z = b h²/6로 단면계수를 구하고, M_allow = σa·Z를 계산한다. 단순보의 중앙 최대모멘트 식 M = wL²/8을 이용하여 w = 8M_allow/L²로 역산하여 허용 분포하중을 구한다.
스프링 처짐 문제는 비례식을 이용한다. 코일스프링의 평균지름을 2배로 하면 처짐은 2³ = 8배가 되므로 설계 변경 시 처짐 변화 규모를 즉시 판단한다.
길이 240cm, 단면의 폭x높이 = 12cmx15cm의 단순보가 ω kN/m의 균일분포하중을 받고 있다. 이보의 허용굽힘응력 σ a = 48 MPa일 때 허용할 수 있는 분포하중의 최대값은?
정답 ② · 단순보가 균일분포하중을 받을 때의 최대 굽힘모멘트는 Mmax = wL²/8 입니다. 보의 길이 L = 240cm = 2.4m 이고, 단면의 폭 b=12cm, 높이 h=15cm 이므로 단면계수 Z = b×h²/6 = (12 × 15²) / 6 = 450 cm³ = 4.5 × 10^-4 m³ 입니다.
단순보의 최대 굽힘모멘트 wL²/8과 허용응력 σ=M/Z 공식을 연계하여 분포하중 w를 구한다.
길이 2m의 외팔보의 자유단에 5kN의 집중하중이 작용하고 있다. 허용응력이 100MPa이라면 높이 10cm의 사각형 단면에서 폭은?
정답 ① · 외팔보 자유단의 집중하중에 의한 최대 굽힘 모멘트는 M = P × L = 5kN × 2m = 10 kN·m 입니다. 사각형 단면의 단면계수 Z = b*h² / 6 이며, 허용 응력 σ = M / Z 입니다.
외팔보 최대굽힘모멘트 M=PL, 허용응력 σ=M/Z 공식을 이용해 단면계수 Z를 구하고 사각형 Z=bh²/6으로 폭 b를 계산한다.
코일스프링의 평균지름 D를 2배로 하면 같은 조건에서 처짐은 몇 배가 되는가?
정답 ④ · 코일스프링의 평균지름 변화가 처짐에 미치는 영향을 묻는 문제이다. 코일스프링의 처짐은 δ=8FD세제곱n/(Gd네제곱)으로 표현되며 하중, 와선수, 선지름이 같으면 평균지름 D의 세제곱에 비례한다.
코일스프링 처짐은 평균지름의 세제곱에 비례하므로 지름 2배 시 2^3=8배가 된다.
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