개념 한 쪽
보에 작용하는 하중은 굽힘모멘트와 처짐을 유발하며, 단면 형상은 이 저항능력에 결정적 영향을 준다는 점을 이해해야 한다.
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출제기준 단원 「전단응력 및 변형률」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 허용 굽힘응력으로 분포하중 산정 | 1 | 단면계수와 M=wL²/8을 연결하여 최대 분포하중을 구하기 |
| 단면 치수로 폭 계산 | 1 | 외팔보 모멘트와 σ=M/Z로 폭 b를 역산하기 |
| 처짐으로 하중 역산 | 1 | 처짐공식 δ=PL³/48EI를 변형하여 집중하중을 구하기 |
굽힘에 의한 응력은 단면의 단면계수 Z와 굽힘모멘트 M의 곱으로 표현되는 허용모멘트 개념과 σ = M / Z 관계로 정리한다. 직사각형 단면의 단면계수는 Z = bh²/6, 사각형 단면의 2차모멘트는 I = bh³/12 공식을 따르는 것을 명시한다.
보의 최대 굽힘모멘트는 지지조건과 하중 배치에 따라 달라지므로 지지조건별 모멘트 계수를 구분해야 한다. 예컨대 단순보에 전 길이 균일분포하중이 작용하면 중앙의 최대모멘트는 M = wL²/8이 되며, 외팔보의 중앙 집중하중에서는 M = PL가 된다. 양단 고정보의 중앙 집중하중 시에는 M = PL/8 계수가 적용된다.
처짐은 탄성계수 E와 단면 이차모멘트 I에 의해 결정되므로 처짐 공식 δ = PL³/48EI, δ = PL³/192EI 등 지지조건별 계수를 정확히 적용해야 한다. 단위 통일을 엄격히 지켜야 하고, I와 Z의 단위 변환에서 발생하는 실수를 경계해야 한다.
굽힘에 의한 표면응력은 곡률과 탄성계수의 곱으로도 표현되며 σ = E·y / R 식으로 중립축에서의 거리 y와 곡률반경 R을 이용해 구할 수 있다.
문제 유형은 크게 단면계수와 허용응력의 연계, 처짐공식의 역산, 지지조건에 따른 모멘트 계수 적용으로 나뉜다. 예를 들어 폭과 높이를 서로 바꾸면 Z 변화는 높이가 제곱으로 기여하므로 허용하중이 크게 변하는 점을 확인한다. 단위 환산을 잊어 GPa를 Pa로, cm를 m로 바꾸는 과정에서 오답이 자주 발생하므로 계산 단계마다 단위를 점검한다.
또 다른 사례는 균일분포하중의 굽힘모멘트 선도가 포물선 형태라는 점을 활용해 하중-전단-모멘트의 미적분 관계를 소거법에 이용하는 것이다. 지지조건을 혼동하면 모멘트 계수를 잘못 적용하므로 문제에서 주어진 지지 형태를 먼저 확인한다.
처짐 문제는 주어진 처짐을 이용해 하중을 역산하는 유형이 많다. 이때 δ = PL³/48EI 등의 공식을 변형하여 하중이나 감은 회수 등을 구하며, 단면 이차모멘트 I 계산과 E의 단위 변환이 핵심 포인트이다.
길이 240cm, 단면의 폭x높이 = 12cmx15cm의 단순보가 ω kN/m의 균일분포하중을 받고 있다. 이보의 허용굽힘응력 σ a = 48 MPa일 때 허용할 수 있는 분포하중의 최대값은?
정답 ② · 단순보가 균일분포하중을 받을 때의 최대 굽힘모멘트는 Mmax = wL²/8 입니다. 보의 길이 L = 240cm = 2.4m 이고, 단면의 폭 b=12cm, 높이 h=15cm 이므로 단면계수 Z = b×h²/6 = (12 × 15²) / 6 = 450 cm³ = 4.5 × 10^-4 m³ 입니다.
단순보의 최대 굽힘모멘트 wL²/8과 허용응력 σ=M/Z 공식을 연계하여 분포하중 w를 구한다.
길이 2m의 외팔보의 자유단에 5kN의 집중하중이 작용하고 있다. 허용응력이 100MPa이라면 높이 10cm의 사각형 단면에서 폭은?
정답 ① · 외팔보 자유단의 집중하중에 의한 최대 굽힘 모멘트는 M = P × L = 5kN × 2m = 10 kN·m 입니다. 사각형 단면의 단면계수 Z = b*h² / 6 이며, 허용 응력 σ = M / Z 입니다.
외팔보 최대굽힘모멘트 M=PL, 허용응력 σ=M/Z 공식을 이용해 단면계수 Z를 구하고 사각형 Z=bh²/6으로 폭 b를 계산한다.
단면[폭×높이]이 4cm×6cm이고 길이가 2m인 단순보의 중앙에 집중하중이 작용할 때 최대처짐이 0.5cm라면 집중하중은 몇 N인가? (단, 탄성계수 E=200GPa이다.)
정답 ④ · 단순보 중앙 집중하중에 대한 최대 처짐 공식을 이용해 하중을 역산하는 문제이다. 먼저 단면 2차 모멘트를 구하면 I = bh³/12 = (0.04×0.06³)/12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴이다.
단순보 중앙 집중하중 처짐 공식 δ=PL³/48EI에 모든 단위를 SI 단위로 통일하여 대입하면 하중 P를 구할 수 있다.
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