개념 한 쪽
보에 작용하는 하중은 전단력과 굽힘모멘트를 발생시키며, 굽힘응력과 처짐은 단면과 재료 물성으로 결정된다는 원리를 굽힘공식으로 정리한다는 점을 핵심으로 다룬다.
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출제기준 단원 「굽힘공식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 분포하중 허용값 산정 | 1 | 단면계수와 단순보 모멘트식을 이용해 분포하중을 구하기 |
| 단면치수 계산(응력기준) | 1 | 외팔보의 모멘트와 허용응력으로 폭을 구하는 과정 묻기 |
| 처짐으로부터 하중 역산 | 1 | 처짐공식과 단면2차모멘트로 집중하중을 구하기 |
굽힘해석의 기본식은 굽힘응력 σ = M / Z이다는 점을 중심으로 이해한다. 여기서 M은 특정 단면에서의 굽힘모멘트, Z는 단면계수로서 단면 형상에 따라 결정되는 값이다는 사실을 명확히 한다.
직사각형 단면에 대한 단면계수와 2차 모멘트는 각각 Z = b h² / 6, I = b h³ / 12 공식을 사용한다는 점을 제시한다. 폭 b와 높이 h의 단위 일치와 h가 제곱 또는 세제곱으로 등장함을 주의해야 한다는 점을 강조한다.
보의 지지조건과 하중조건에 따라 모멘트 계수가 달라진다는 사실을 정리한다. 단순지지 단순보의 중앙에 작용하는 균일분포하중의 최대모멘트는 Mmax = w L² / 8이고, 외팔보의 최대모멘트는 M = P L이며, 양단 고정보의 중앙집중하중 시 최대모멘트는 M = P L / 8임을 명시한다.
처짐 공식은 하중형태에 따라 달라진다는 점을 기술한다. 예를 들어 단순보의 중앙집중하중에 대한 중앙 처짐은 δ = P L³ / 48 E I이고, 단순보의 균일분포하중에 대한 최대처짐은 δ = 5 w L⁴ / 384 E I라는 관계가 있음을 설명한다.
재료의 탄성계수 E와 단면 2차 모멘트 I의 곱(EI)은 보의 강성을 결정하므로 처짐은 EI에 반비례한다는 원리를 덧붙인다.
균일분포하중을 받는 길이 2.4m, 폭 12cm, 높이 15cm의 단순보에서 허용굽힘응력이 48MPa일 경우, 견딜 수 있는 분포하중을 계산하는 예를 보인다. 단면계수 Z = b h² / 6 = 12×15²/6 = 450 cm³ = 4.5×10⁻⁴ m³, 허용모멘트 M = σa·Z = 48×10⁶×4.5×10⁻⁴ = 21,600 N·m, M = w L² / 8을 이용하여 w = 8M / L² = 8×21600 / (2.4²) = 30,000 N/m = 30 kN/m이라는 결과를 제시한다.
외팔보 길이 2m, 폭 4cm, 높이 6cm, 처짐 0.5cm, E=200GPa인 경우 중앙 집중하중을 처짐식 δ = P L³ / 48 E I로부터 구하는 절차를 제시한다. 단면 2차모멘트 I = b h³ / 12 = 0.04×0.06³ / 12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴, P = 48 E I δ / L³을 대입하면 P ≈ 4320 N이 나옴을 제시한다.
길이 240cm, 단면의 폭x높이 = 12cmx15cm의 단순보가 ω kN/m의 균일분포하중을 받고 있다. 이보의 허용굽힘응력 σ a = 48 MPa일 때 허용할 수 있는 분포하중의 최대값은?
정답 ② · 단순보가 균일분포하중을 받을 때의 최대 굽힘모멘트는 Mmax = wL²/8 입니다. 보의 길이 L = 240cm = 2.4m 이고, 단면의 폭 b=12cm, 높이 h=15cm 이므로 단면계수 Z = b×h²/6 = (12 × 15²) / 6 = 450 cm³ = 4.5 × 10^-4 m³ 입니다.
단순보의 최대 굽힘모멘트 wL²/8과 허용응력 σ=M/Z 공식을 연계하여 분포하중 w를 구한다.
길이 2m의 외팔보의 자유단에 5kN의 집중하중이 작용하고 있다. 허용응력이 100MPa이라면 높이 10cm의 사각형 단면에서 폭은?
정답 ① · 외팔보 자유단의 집중하중에 의한 최대 굽힘 모멘트는 M = P × L = 5kN × 2m = 10 kN·m 입니다. 사각형 단면의 단면계수 Z = b*h² / 6 이며, 허용 응력 σ = M / Z 입니다.
외팔보 최대굽힘모멘트 M=PL, 허용응력 σ=M/Z 공식을 이용해 단면계수 Z를 구하고 사각형 Z=bh²/6으로 폭 b를 계산한다.
단면[폭×높이]이 4cm×6cm이고 길이가 2m인 단순보의 중앙에 집중하중이 작용할 때 최대처짐이 0.5cm라면 집중하중은 몇 N인가? (단, 탄성계수 E=200GPa이다.)
정답 ④ · 단순보 중앙 집중하중에 대한 최대 처짐 공식을 이용해 하중을 역산하는 문제이다. 먼저 단면 2차 모멘트를 구하면 I = bh³/12 = (0.04×0.06³)/12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴이다.
단순보 중앙 집중하중 처짐 공식 δ=PL³/48EI에 모든 단위를 SI 단위로 통일하여 대입하면 하중 P를 구할 수 있다.
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