개념 한 쪽
보에 작용하는 하중은 전단력과 굽힘모멘트를 발생시키고, 단면 형상과 재료 특성은 그에 대한 응력과 처짐을 결정한다는 점을 이해한다. 굽힘모멘트와 단면계수는 굽힘응력을 연결하고, 곡률과 탄성계수는 재료의 굽힘응력 산정에 직결된다는 원리를 중심으로 학습한다.
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출제기준 단원 「곡률, 변형률 및 굽힘 모멘트관계」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 균일분포 하중 허용값 산정 | 1 | 단면계수와 최대모멘트 관계로 허용 분포하중을 역산하기 |
| 단면치수 역산 | 1 | 외팔보 또는 캔틸레버의 모멘트와 허용응력으로 단면 치수를 구하기 |
| 외팔보 끝 하중 처짐 계산 | 1 | 외팔보 자유단 집중하중의 최대처짐을 계산하기 |
보의 굽힘 거동에서 굽힘모멘트는 단면에 발생하는 굽힘응력의 직접적인 원인이므로 굽힘응력 σ는 M/Z로 표현한다는 관계를 기억한다. 단면계수 Z는 단면 형상에 따라 정해지며 직사각형 단면의 경우 Z = b h² / 6 공식을 사용한다는 사실을 확인한다. 이 공식을 이용해 주어진 허용응력으로부터 허용모멘트 또는 필요한 단면 치수를 역산한다.
지지조건과 하중위치에 따라 굽힘모멘트의 계수는 달라진다는 점을 숙지한다. 예컨대 외팔보 자유단 하중의 최대모멘트는 M = P L, 단순보 중앙 집중하중의 경우 Mmax = P L / 4 또는 등분포 하중 시 Mmax = w L² / 8 등의 모멘트식을 상황에 맞게 적용한다. 양단 고정보와 단순지지의 모멘트 계수 차이를 구별하여 응력 계산에 적용한다.
굽힘에 의한 변형률과 곡률 사이에는 선형 탄성 관계가 성립한다는 점을 이해한다. 곡률이 주어지면 표면에서의 굽힘응력은 σ = E·y / R 또는 σ = E·(c/R) 형태로 구할 수 있으며 여기서 E는 탄성계수, y 또는 c는 중립축에서 표면까지 거리, R은 곡률반경임을 확인한다. 단위 일관성을 유지하여 계산하는 것이 중요하다는 점을 확인한다.
처짐 해석에서는 단면 2차 모멘트 I와 탄성계수 E가 관여하여 처짐 공식 δ가 결정된다는 점을 숙지한다. 외팔보 끝 하중의 처짐은 δ = P L³ / (3 E I), 단순보 중앙 집중하중 처짐은 δ = P L³ / (48 E I) 등 처짐계수 공식을 상황에 맞게 사용하여 하중 또는 처짐을 역산한다.
대표 계산 1 — 균일분포하중 허용값 역산(자료 574801 근거) 길이 2.4m, 단면 b=12cm, h=15cm인 단순보에 균일분포하중 w가 작용할 때 중앙 최대모멘트는 Mmax = w L² / 8 식으로 구한다. 직사각형 단면의 단면계수는 Z = b h² / 6 = 12×15²/6 = 450 cm³ = 4.5×10⁻⁴ m³이며 허용응력 σa = 48 MPa에서 허용모멘트 M = σa·Z = 48×10⁶ × 4.5×10⁻⁴ = 21,600 N·m가 된다. 이를 M = w L² / 8에 대입하여 w = 8M / L² = 8×21,600 / (2.4²) = 30,000 N/m = 30 kN/m으로 계산한다.
대표 계산 2 — 외팔보 끝 하중에 대한 처짐(자료 575808 근거) 폭 300mm, 높이 100mm, 길이 L=1.5m인 외팔보 자유단에 P=8 kN이 작용할 때 단면 2차모멘트 I = b h³ / 12 = 300×100³/12 = 2.5×10⁷ mm⁴, E = 200 GPa = 200,000 N/mm²를 사용한다. 처짐식 δ = P L³ / (3 E I)에 값을 대입하면 δ = 8000×1500³ / (3×200000×2.5×10⁷) = 1.8 mm라고 계산한다.
길이 240cm, 단면의 폭x높이 = 12cmx15cm의 단순보가 ω kN/m의 균일분포하중을 받고 있다. 이보의 허용굽힘응력 σ a = 48 MPa일 때 허용할 수 있는 분포하중의 최대값은?
정답 ② · 단순보가 균일분포하중을 받을 때의 최대 굽힘모멘트는 Mmax = wL²/8 입니다. 보의 길이 L = 240cm = 2.4m 이고, 단면의 폭 b=12cm, 높이 h=15cm 이므로 단면계수 Z = b×h²/6 = (12 × 15²) / 6 = 450 cm³ = 4.5 × 10^-4 m³ 입니다.
단순보의 최대 굽힘모멘트 wL²/8과 허용응력 σ=M/Z 공식을 연계하여 분포하중 w를 구한다.
길이 2m의 외팔보의 자유단에 5kN의 집중하중이 작용하고 있다. 허용응력이 100MPa이라면 높이 10cm의 사각형 단면에서 폭은?
정답 ① · 외팔보 자유단의 집중하중에 의한 최대 굽힘 모멘트는 M = P × L = 5kN × 2m = 10 kN·m 입니다. 사각형 단면의 단면계수 Z = b*h² / 6 이며, 허용 응력 σ = M / Z 입니다.
외팔보 최대굽힘모멘트 M=PL, 허용응력 σ=M/Z 공식을 이용해 단면계수 Z를 구하고 사각형 Z=bh²/6으로 폭 b를 계산한다.
폭 30 cm, 높이 10 cm, 길이 1.5 m의 외팔보의 자유단에 8 kN 의 집중하중을 작용시킬 때의 최대처짐은 몇 mm 인가? (단, 탄성계수 E = 200 GPa 이다.)
정답 ④ · 외팔보 자유단에 집중하중이 작용할 때의 최대 처짐을 계산하는 문제이다. 처짐 공식은 δ=PL 세제곱/(3EI)이고, 단면 2차 모멘트는 I=bh 세제곱/12=300×100 세제곱/12=2.5×10의 7제곱 mm 네제곱이다.
외팔보의 최대처짐 δ=PL^3/(3EI) 공식을 적용하면, 주어진 조건에서 1.8mm가 나온다.
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