개념 한 쪽
건설기계설비기사 하중, 전단력 및 굽힘모멘트 — 굽힘응력·단면계수
보와 축 등 구조 부재는 하중을 받으면 전단력과 굽힘모멘트를 발생시켜 응력이 생긴다. 굽힘응력은 모멘트, 단면의 형상과 크기인 2차 모멘트(또는 단면계수)에 따라 결정되므로, 단위와 경계조건을 정확히 다루는 것이 핵심이다.
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뜻
굽힘응력은 기본적으로 σ = M·y / I 공식으로 계산한다. 여기서 M은 굽힘모멘트, y는 중성축에서 가장 바깥점까지의 거리, I는 단면의 2차 모멘트이다. 단면의 높이를 주면 y는 보통 높이의 절반이므로 이를 정확히 적용해야 한다.
단면계수 Z는 보의 단면형상에 따라 정의되며 굽힘응력 계산에서 σ = M / Z 형태로도 자주 사용된다. 예컨대 직사각형 단면의 경우 Z = b·h^2 / 6 공식으로 구한다. 허용굽힘응력이 주어지면 최대허용모멘트 M = σW·Z로 계산하고, 하중과 지지조건 관계식을 통해 허용하중을 구한다.
곡률과 굽힘강성의 관계는 κ = M / (E·I)로 표현한다. 곡률은 굽힘모멘트에 비례하고 굽힘강성(EI)에 반비례하므로, 같은 모멘트에서도 단면2차모멘트가 클수록 휨이 작아진다. 이 관계를 이용해 변형과 응력을 연결할 수 있다.
비틀림이나 감김이 있는 경우에는 전단응력과 비틀림각 공식을 결합하여 기하치수를 유도한다. 예컨대 비틀림각 φ와 최대전단응력 τ, 전단탄성계수 G, 반지름 c 사이의 관계를 이용하면 축의 길이나 다른 치수를 구할 수 있다.
체적변형률과 같은 탄성 이론 문제는 관련 공식의 직접 대입으로 해결한다. 예컨대 축방향 인장응력에 대한 체적변형률은 εν = (σ/E)(1-2μ)로 구하여 포아송비 영향까지 고려한다.
예제
굽힘응력을 묻는 문제에서는 단위를 통일하고 y와 I의 단위를 일치시켜 계산한다. 예를 들어 단면 2차모멘트가 cm^4로 주어지면 m^4로 변환하거나, 모멘트와 y의 단위를 cm로 맞추어 σ = M·y / I를 적용한다. 외팔보 문제는 허용응력→단면계수→최대모멘트→하중 순으로 계산한다. 양단고정 보의 중앙집중하중 최대모멘트는 PL/8을 사용하여 P = 8σZ/L 공식을 적용하여 허용하중을 구한다.
비틀림 문제는 φ=TL/(J G)와 τ=Tc/J를 결합하여 φ = τL/(G c) 관계를 유도하면 길이 L을 직접 구할 수 있다. 체적변형률 문제는 εν=(σ/E)(1-2μ)를 대입하여 수치 계산으로 해결한다.
좌굴 하중 문제는 오일러 공식 Pcr = π^2 E I / L^2를 사용하되, 좌굴이 발생할 방향의 약축에 대한 관성모멘트를 계산하여 대입해야 한다.
자주 묻는 물음
- 굽힘응력 계산에서 y와 I의 의미는 무엇인가?
- y는 중성축에서 단면 외측까지의 거리이고, I는 단면의 2차 모멘트로 단면 형상과 크기에 따른 관성이다. σ = M·y / I 공식을 사용하여 계산한다.
- 허용굽힘응력으로부터 외팔보의 허용하중을 구하는 절차는?
- 허용굽힘응력 σW와 단면계수 Z로 최대모멘트 M = σW·Z를 구한 뒤, 외팔보의 모멘트 관계 M = P·L를 이용하여 P = M / L로 허용하중을 구한다.
- 비틀림과 관련된 길이나 치수는 어떻게 유도하나?
- 비틀림각 φ와 최대전단응력 τ, 전단탄성계수 G, 반지름 c 관계를 결합하면 φ = τL/(G c) 식을 얻어 L을 구할 수 있다. φ는 라디안 단위를 사용하여 계산한다.
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