개념 한 쪽
축이나 관과 같은 원형 단면 부재가 토크를 받을 때 발생하는 비틀림 거동과 그로 인한 전단응력을 계산하는 기본 원리를 정리한다. 극단면이차모멘트와 극관성모멘트 공식, 비틀림각과 응력 사이의 관계식을 활용해 치수나 재료상수를 도출하는 문제 유형에 대비한다.
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출제기준 단원 「박막튜브의 비틀림」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 동력·토크로 안지름 도출 | 1 | 전달동력과 허용응력으로 속이 빈축의 안지름을 계산하기 |
| 각도·응력으로 길이 유도 | 1 | 비틀림각과 최대 전단응력으로 축의 길이를 구하기 |
| 토크·재료로 비틀림각/응력 계산 | 1 | 토크와 G로 비틀림각 또는 전단응력을 계산하기 |
비틀림 상태에서 단면에 발생하는 최대 전단응력 τ는 비틀림모멘트 T와 단면 치수에 따라 계산한다. 원형 실단면의 경우 τ = T·r / J 공식을 이용하고, J는 원형 단면의 극단면이차모멘트로 J = πD⁴/32 공식을 적용한다. 속이 빈 원통형 단면은 J = π(D⁴ - d⁴)/32 공식을 사용한다.
비틀림응력은 극관성모멘트(Wp)를 이용해 표현하기도 한다. 원형 단면의 극관성모멘트는 Wp = πD³/16 이므로 τ = T / Wp 식을 통해 τ = 16T/(πD³) 형태로도 계산할 수 있다. 문제에 따라 어떤 공식을 사용하는지 확인하고 단위 일관성을 유지해야 한다.
비틀림각 φ와 전단응력 τ는 전단탄성계수 G를 매개로 연결된다. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) 로 구하며, 비틀림 시 단면의 최대 전단응력은 τ = G·r·φ / L 또는 τ = (G·ρ·φ)/L 공식을 통해 직접 계산할 수 있다. 두 식을 결합하면 φ와 τ, 길이 L, 반지름 r(또는 c)를 이용해 한 변수를 다른 변수로부터 유도할 수 있다.
토크와 기하학적 치수의 비례관계를 이용하면 서로 다른 치수의 축을 동일각도만큼 변형시키는 데 필요한 토크 비를 간단히 비교할 수 있다. 비틀림 모멘트는 단면 지름의 4제곱에 비례하고 길이에 반비례하므로 T ∝ d⁴ / L 관계를 항상 염두에 둔다.
계산 문제에서는 각도 단위(도→라디안)와 길이 단위(mm↔m) 변환을 실수하지 않는 것이 핵심이다. 극단면이차모멘트와 극관성모멘트의 공식을 미리 숙지하고, 문제 유형에 따라 T, J, G, φ, τ 등의 식을 적절히 변형해 사용하는 연습을 권한다.
대표 계산 1 — 원형 속이 찬 축의 최대 비틀림응력 계산 예시: 지름 D=50 mm, 비틀림모멘트 T=1228 N·m 인 경우 극관성모멘트 공식 Wp = πD³/16 을 적용해 τ = T / Wp = 16T/(πD³) 식으로 계산하면 약 50 MPa 수준의 최대비틀림응력이 도출된다고 설명한다. 이 계산은 지름 단위를 미터로 통일하고 공식을 바로 대입하는 과정으로 해결한다.
대표 계산 2 — 비틀림각과 전단응력의 관계 예시: 길이 L=2 m, 지름 10 mm(반지름 r=5 mm), 전단탄성계수 G=84 GPa, 비틀림각 10°인 경우 τ = G·r·φ / L 공식을 사용하고 10°를 라디안으로 변환한 뒤 계산하면 약 36.6 MPa의 최대 전단응력이 나온다고 정리한다. 각도 단위를 라디안으로 변환하는 단계가 반드시 필요함을 강조한다.
바깥지름이 46mm인 속이 빈축이 120kW의 동력을 전달하는 데 이 때의 각속도는 40 rev/s 이다. 이 축의 허용비틀림 응력이 τa = 80 MPa 일 때, 최대 안지름은 몇 mm 인가?
정답 ② · 동력 P = 120kW, 각속도 ω = 40 rev/s × 2π = 80π rad/s 이다. 토크 T = P/ω = 120000 / (80π) ≈ 477.46 N·m 이다.
비틀림 응력 공식 τ=Tr/J를 변형하여 안지름 d를 구하면 약 41.8mm가 된다.
직경 5cm의 차축이 7°만큼 비틀렸다. 이때 최대 전단응력이 100MPa이고, 재료의 전단 탄성계수가 80GPa이라고 하면 이 차축의 길이에 가장 가까운 것은?
정답 ② · 비틀림각과 최대 전단응력으로부터 원축의 길이를 구하는 문제이다. 비틀림각 공식 φ=TL/JG와 전단응력 τ=Tc/J를 결합하면 φ=τL/Gc가 되어 L=φGc/τ로 길이를 바로 구할 수 있다.
비틀림 각 φ=TL/JG, 최대 전단응력 τ=Tc/J이므로 φ=τL/Gc로 길이 L을 직접 유도한다.
길이 1m, 지름 50 mm, 전단탄성계수 G=80 GPa 인 환봉축에 800 N·m의 토크가 작용될 때 비틀림각은 약 몇 도인가?
정답 ① · 비틀림각(φ)은 토크(T), 길이(L), 전단탄성계수(G), 단면의 극단면이차모멘트(J)를 사용하여 φ = T*L / (G*J) (라디안) 로 구합니다. 축의 지름 d=50mm이므로 J = π*d⁴/32 ≈ 613,592 mm⁴ 입니다.
비틀림각은 토크와 길이에 비례하고 전단탄성계수와 극단면이차모멘트에 반비례하여 라디안으로 구한 후 도 단위로 변환한다.
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