개념 한 쪽
비틀림 강성은 축이 토크를 받을 때 비틀림 각과 발생 전단응력의 크기를 결정하는 특성이다. 전단탄성계수 G와 단면의 극단면이차모멘트(J) 또는 극단면계수(Wp, Zp)가 비틀림 저항을 규정한다. 문제 유형은 주로 지름·길이·토크·각도·전단탄성계수 사이의 관계식을 적용해 지름을 역산하거나 비틀림 각과 전단응력을 계산하는 형태가 많다.
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출제기준 단원 「비틀림 강성」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 허용 전단응력으로 최소 지름 산정 | 1 | 토크와 허용 전단응력으로 축의 최소 지름을 계산하기 |
| 토크·지름으로 비틀림각 계산 | 1 | 토크·길이·G·지름으로 비틀림각을 라디안에서 도로 변환해 구하기 |
| 비틀림 각에서 전단응력 산출 | 1 | 비틀림 각과 G·반지름·길이로 최대 전단응력을 계산하기 |
비틀림 각은 φ = T·L/(G·J) 공식을 사용해 구한다. 여기서 T는 비틀림 모멘트(토크), L은 길이, G는 전단탄성계수, J는 단면의 극단면이차모멘트이다. 계산 결과는 라디안 단위이므로 문제가 도 단위를 요구하면 라디안에 180/π를 곱해 도로 변환해야 한다.
원형 단면의 극단면이차모멘트 J는 J = πd⁴/32(속이 찬 원) 또는 환봉의 경우 π(D⁴ - d⁴)/32 공식을 사용해 구한다. 비틀림 응력은 단면계수 또는 극단면계수로 표현할 수 있으며, 원형 단면의 경우 최대 전단응력 τ는 τ = 16T/(πD³)로 정리할 수 있다.
비틀림 강성 자체는 재료의 전단탄성계수 G와 단면 형상에 의해 결정된다. 특히 J는 지름의 4제곱에 비례하므로 같은 비율로 지름이 커지면 비틀림 저항이 크게 증가한다. 이로 인해 중공축은 외경이 크면 비틀림에 유리한 성질을 보이는 점을 문제에서 자주 활용한다.
문제 풀이상 주의점은 단위 통일과 각도 단위 변환이다. 토크와 길이, 지름 단위(mm·m)와 전단탄성계수 단위(GPa·MPa)의 일치를 확인한 뒤 공식을 적용해야 한다. 또한 동일 단면적 조건에서 선형 계산에 의한 근사치가 답으로 제시될 수 있으므로 보기에 가장 가까운 값을 선택하는 경우가 있음을 인지해야 한다.
예 1 — 최소 지름 계산: 토크 3200 N·m, 허용 전단응력 60 MPa 조건에서 τ = 16T/(πd³) 공식을 d에 대해 정리하면 d = (16T/(πτ))^(1/3)이다. 이 식에 값을 대입하면 약 6.48 cm가 도출되므로 최소 지름은 6.48 cm로 판단한다.
예 2 — 비틀림각 계산: 지름 50 mm, 길이 1 m, G = 80 GPa, 토크 800 N·m의 환봉축에서는 J = πd⁴/32를 구하고 φ = TL/(GJ)로 라디안을 계산한 뒤 180/π를 곱해 도로 변환하면 약 0.93°가 되므로 가장 가까운 1°를 선택한다.
예 3 — 전단응력 계산: 지름 10 mm, 길이 2 m, 한쪽 끝은 고정시키고 반대쪽 끝을 10° 회전시켰을 때 τ = G·r·φ/l 공식을 사용한다. 10°를 라디안으로 변환하고 r = d/2를 대입하면 약 36.6 MPa가 된다.
3200 N.m의 비틀림모멘트를 받는 둥근축이 있다. 이 축의 허용 전단응력을 60 MPa이라 하면 축의 지름은 최소 몇 cm로 해야 하는가?
정답 ① · 비틀림을 받는 둥근 축의 허용 전단응력 조건을 만족하는 최소 지름을 구하는 문제이다. 비틀림 전단응력 공식 τ = 16T/(πd³)를 변형하면 d = (16T/(πτ))^(1/3)이 된다.
비틀림 응력 공식 τ = 16T/(πd³)을 사용하여 허용 응력 이하가 되는 최소 지름을 계산한다.
길이 1m, 지름 50 mm, 전단탄성계수 G=80 GPa 인 환봉축에 800 N·m의 토크가 작용될 때 비틀림각은 약 몇 도인가?
정답 ① · 비틀림각(φ)은 토크(T), 길이(L), 전단탄성계수(G), 단면의 극단면이차모멘트(J)를 사용하여 φ = T*L / (G*J) (라디안) 로 구합니다. 축의 지름 d=50mm이므로 J = π*d⁴/32 ≈ 613,592 mm⁴ 입니다.
비틀림각은 토크와 길이에 비례하고 전단탄성계수와 극단면이차모멘트에 반비례하여 라디안으로 구한 후 도 단위로 변환한다.
지름 10mm, 길이 2m인 둥근 막대의 한끝을 고저하고 타단을 자유로이 10°만큼 비틀었다면 막대에 생기는 최대 전단응력은 몇 MPa인가? (단, 재료의 전단탄성계수 G = 84 GPa이다.)
정답 ② · 비틀림각이 주어졌을 때 원형 막대의 최대 전단응력을 구하는 문제이다. 비틀림각과 전단응력의 관계식 τ=G·r·φ/l을 사용한다.
비틀림 각 φ와 전단탄성계수 G, 반지름 r, 길이 l을 이용한 τ=G·r·φ/l 공식으로 최대 전단응력을 계산한다.
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