개념 한 쪽
비틀림은 축에 토크가 작용할 때 발생하며, 이로 인해 축 단면에서 전단응력과 길이에 따른 비틀림각이 생긴다. 설계·검산 문제는 전단응력식·극관성모멘트·극단면계수·비틀림각 공식을 적절히 적용하는 능력을 묻는다.
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출제기준 단원 「비틀림 모멘트」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 허용응력으로 최소지름 계산 | 1 | 비틀림모멘트와 허용 전단응력으로 축 지름을 계산하는 법을 묻는다 |
| 치수 비례로 모멘트 비율 판단 | 1 | 지름과 길이 변화에 따른 비틀림모멘트 또는 강성 비를 비교하는 방법을 묻는다 |
| 중공축의 모멘트 산정 | 1 | 중공 원형축의 극단면계수로부터 비틀림모멘트를 계산하는 법을 묻는다 |
비틀림 모멘트(T)는 축을 비틀기 위해 요구되는 토크의 크기를 나타내며, 단면 형상과 치수에 따라 축의 저항성이 달라진다. 원형 단면의 경우 최대 전단응력은 τ = 16T/(πd³) 공식을 통해 구하며, 속이 빈 원형축은 극관성모멘트 J나 극단면계수 Zp의 차이에 따라 응력과 강성이 달라진다.
중공축의 경우 극관성모멘트 J = π(do⁴ - di⁴)/32와 극단면계수 Zp = (π/16)(D⁴ - d⁴)/D 등을 사용하여 비틀림 응력과 모멘트를 연결한다. 중공축 문제는 바깥지름과 안지름의 네제곱 차를 정확히 계산하는 것이 핵심이다.
비틀림각 θ는 재료의 전단탄성계수 G와 단면의 J에 의해 결정되며 θ = TL/(GJ) 공식을 사용한다. 동일 재료·단면에서 비틀림각은 T와 L의 곱에 비례하므로 치수 또는 모멘트 변화가 있을 때 비례 관계로 비교하면 답을 구할 수 있다.
설계 문제에서는 단위를 통일하는 것이 특히 중요하다. 모멘트는 N·m 또는 N·mm로, 지름은 m 또는 mm로 통일하여 계산한 후 라디안과 도의 단위 변환을 정확히 처리해야 한다.
(참고 풀이 요점) 전단응력 문제는 τ=16T/(πd³) 또는 T=τZp 공식을 상황에 맞게 선택하여 단위를 맞춰 대입하면 해결된다. 비틀림각 문제는 먼저 J를 구하고 θ=TL/(GJ)로 계산한 뒤 라디안을 도로 변환하는 절차를 따른다.
3200 N.m의 비틀림모멘트를 받는 둥근축이 있다. 이 축의 허용 전단응력을 60 MPa이라 하면 축의 지름은 최소 몇 cm로 해야 하는가?
정답 ① · 비틀림을 받는 둥근 축의 허용 전단응력 조건을 만족하는 최소 지름을 구하는 문제이다. 비틀림 전단응력 공식 τ = 16T/(πd³)를 변형하면 d = (16T/(πτ))^(1/3)이 된다.
비틀림 응력 공식 τ = 16T/(πd³)을 사용하여 허용 응력 이하가 되는 최소 지름을 계산한다.
재료가 동일한 길이 L, 지름 d인 축과 길이 2L, 지름 2d인 축을 동일각도 만큼 변위시키는데 필요한 비틀림 모멘트의 비 T1/T2의 값은 얼마인가?
정답 ② · 비틀림 모멘트 T는 단면의 극단면2차모멘트 Ip와 비틀림 각도 θ, 그리고 길이 L에 따라 T = GIpθ/L 로 표현됩니다. 두 축을 동일한 각도(θ1=θ2)로 변위시키는 조건이 주어졌습니다.
비틀림 모멘트 T는 지름의 4제곱에 비례하고 길이에 반비례하므로, 지름 2배·길이 2배 조건에서 T2는 T1의 8배가 되어 비는 1/8이다.
바깥지름 4cm, 안지름 2cm의 속이 빈 원형축에 10MPa의 최대 전단응력이 생기도록 하려면 비틀림 모멘트의 크기는 몇 N·m로 해야 하는가?
정답 ④ · 속이 빈 원형축의 비틀림 모멘트는 최대 전단 응력과 단면 계수를 이용하여 T = τmax × Zp 로 구할 수 있습니다. 중공축의 극단면계수 Zp는 (π/16) × (D⁴ - d⁴) / D 공식으로 계산됩니다.
중공축 극단면계수 Zp=(π/16)(D⁴-d⁴)/D 계산 후 T=τZp 공식에 대입하면 약 118N·m가 된다.
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