개념 한 쪽
비틀림 하중을 받는 축의 설계와 해석은 극관성모멘트(J) 또는 극단면계수(Zp)를 계산하고, 비틀림 모멘트(T)와 전단응력(τ) 또는 비틀림각(θ) 관계식을 적용하는 방식으로 접근한다는 점을 이해한다.
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출제기준 단원 「비틀림 강도」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 허용응력으로 최소 지름 산정 | 1 | 주어진 T와 허용 τ로부터 둥근축의 최소지름을 계산하는 방법을 묻는다 |
| 비틀림각 계산 | 1 | 토크·길이·G·J 관계로부터 비틀림각을 라디안에서 도로 변환해 답을 구하는 능력을 묻는다 |
| 중공축 응력→모멘트 역산 | 1 | 중공축의 Zp 또는 J를 계산하여 최대전단응력으로 요구되는 비틀림모멘트를 산정하는 과정을 묻는다 |
비틀림 문제에서는 두 가지 단면 지표를 주로 사용한다. 하나는 극관성모멘트 J로, 환봉이나 중공축의 비틀림 저항을 나타내며 원형 단면의 경우 J = πD⁴/32, 중공 원형의 경우 J = π(do⁴ - di⁴)/32 공식을 적용한다는 점을 기억한다. 다른 하나는 극단면계수 Zp로, 표면에서 생기는 최대 전단응력과 비틀림모멘트의 관계 T = τ · Zp 형태로 사용한다는 점을 이해한다.
최대 전단응력 계산은 τ = T·c / J 또는 τ = 16T/(πd³) 등 형태로 전개되며, 여기서 c는 바깥 반지름, d는 지름이다. 중공축 문제에서는 안·바깥지름을 정확히 사용하여 J나 Zp를 계산해야 하며, 지름·반지름의 혼동이나 단위 미전환이 계산 오류의 주요 원인임을 인지한다.
비틀림각은 θ = TL/(GJ) 공식을 사용하여 구한다는 점을 기억한다. 이 공식으로 얻은 각도는 라디안 단위이므로 도 단위가 필요하면 라디안에 180/π를 곱해 변환해야 한다는 점을 잊지 않는다.
단면 형상에 따른 효과는 지름의 영향이 매우 크다. J는 지름의 4제곱에 비례하거나 중공축의 경우 도⁴−di⁴ 항을 포함하므로 외경이 클수록 비틀림 저항이 크게 증가한다는 점을 이해한다.
대표 계산 1 — 중공축에서 응력으로부터 모멘트 계산 바깥지름 4cm, 안지름 2cm인 중공축에 최대 전단응력 τ = 10 MPa가 생기도록 하는 비틀림모멘트 T를 구한다는 조건을 고려한다. 중공축의 극단면계수 Zp는 Zp = (π/16) × (D⁴ - d⁴) / D 공식을 사용하여 계산한다는 점을 기억한다. D = 0.04 m, d = 0.02 m를 대입하면 Zp ≈ 1.178×10⁻⁵ m³가 되며, T = τ × Zp에 τ = 10×10⁶ Pa를 대입하면 T ≈ 117.8 N·m가 되어 약 118 N·m이 됨을 확인한다는 점을 강조한다.
대표 계산 2 — 허용 전단응력으로부터 최소 지름 산정 비틀림모멘트 T = 3200 N·m, 허용 전단응력 τ_allow = 60 MPa일 때 둥근축의 최소 지름 d를 구하는 방법은 τ = 16T/(πd³) 식을 d에 대해 정리하여 d = (16T/πτ)^(1/3) 공식을 사용하는 것이다. 수치 대입 시 단위를 일치시켜 계산하면 d ≈ 0.0648 m, 즉 약 6.48 cm가 되어 허용 응력 이하가 되도록 지름을 정해야 함을 확인한다는 점을 명심한다.
3200 N.m의 비틀림모멘트를 받는 둥근축이 있다. 이 축의 허용 전단응력을 60 MPa이라 하면 축의 지름은 최소 몇 cm로 해야 하는가?
정답 ① · 비틀림을 받는 둥근 축의 허용 전단응력 조건을 만족하는 최소 지름을 구하는 문제이다. 비틀림 전단응력 공식 τ = 16T/(πd³)를 변형하면 d = (16T/(πτ))^(1/3)이 된다.
비틀림 응력 공식 τ = 16T/(πd³)을 사용하여 허용 응력 이하가 되는 최소 지름을 계산한다.
길이 1m, 지름 50 mm, 전단탄성계수 G=80 GPa 인 환봉축에 800 N·m의 토크가 작용될 때 비틀림각은 약 몇 도인가?
정답 ① · 비틀림각(φ)은 토크(T), 길이(L), 전단탄성계수(G), 단면의 극단면이차모멘트(J)를 사용하여 φ = T*L / (G*J) (라디안) 로 구합니다. 축의 지름 d=50mm이므로 J = π*d⁴/32 ≈ 613,592 mm⁴ 입니다.
비틀림각은 토크와 길이에 비례하고 전단탄성계수와 극단면이차모멘트에 반비례하여 라디안으로 구한 후 도 단위로 변환한다.
바깥지름 4cm, 안지름 2cm의 속이 빈 원형축에 10MPa의 최대 전단응력이 생기도록 하려면 비틀림 모멘트의 크기는 몇 N·m로 해야 하는가?
정답 ④ · 속이 빈 원형축의 비틀림 모멘트는 최대 전단 응력과 단면 계수를 이용하여 T = τmax × Zp 로 구할 수 있습니다. 중공축의 극단면계수 Zp는 (π/16) × (D⁴ - d⁴) / D 공식으로 계산됩니다.
중공축 극단면계수 Zp=(π/16)(D⁴-d⁴)/D 계산 후 T=τZp 공식에 대입하면 약 118N·m가 된다.
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