개념 한 쪽
온도 변화로 구조물이 자유롭게 길이 변화를 하지 못하면 내부에 발생하는 응력을 열응력이라 한다. 열응력 문제는 기본 식 σ = E·α·ΔT를 적용해 응력 또는 허용 온도변화량을 구하고, 응력에서 단면적을 곱해 구속력을 산출하는 절차로 해결한다.
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출제기준 단원 「열응력」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 고정 단 열응력 계산 | 1 | 온도하강에 따른 고정재의 응력 크기를 계산하는 능력 평가 |
| 단면적 곱한 구속력 산정 | 1 | 응력에서 단면적을 곱해 구속력을 산출하는 계산 능력 평가 |
| 허용응력으로 허용온도범위 판단 | 1 | 허용응력으로부터 허용 온도변화량을 역산해 범위를 제시하는 능력 평가 |
열응력은 재료가 온도 변화에 따라 팽창 또는 수축하려 할 때, 그 변위를 제약하는 경계조건이 있으면 발생하는 내부 응력이다를 줄여 말하면 온도 변화에 의해 야기되는 제약된 변형에서 생기는 응력이라고 정의한다. 이상적 선형 탄성 영역에서는 응력은 탄성계수 E와 선팽창계수 α, 온도변화량 ΔT의 곱으로 주어진다: σ = E·α·ΔT한다고 기술한다.
고정된 양단처럼 길이 변화를 허용하지 않는 조건에서는 온도에 따른 자유변위가 탄성변형으로 상쇄되며, 그 결과 발생하는 응력은 재료와 기하학적 치수에 의해 결정된다고 정리한다. 응력값에 단면적 A를 곱하면 구속력 F를 구할 수 있다: F = σ·A한다고 설명한다.
열응력 문제는 두 가지 접근이 가능하다. 허용응력이 주어지면 ΔT를 역산하여 허용 온도범위를 확보하는 방식과, 온도변화가 주어지면 σ와 F를 순차적으로 계산하는 방식이다. 계산 시에는 단위 일관성을 항상 확인해야 한다(예: GPa→Pa, mm→m 등)..
온도 변화로 인한 변위 균형 문제에서는 변위량을 직접 비교해 하중을 산정하는 방법도 사용한다. 예컨대 냉각으로 인한 수축 변위를 인장하중에 의한 신장으로 상쇄시키는 등식 δ_T = δ_P를 세워 하중을 구할 수 있다. 다만 단순한 구속력 산정은 σ = E·α·ΔT로 응력을 먼저 계산하고 면적으로 곱하는 것이 안전하다고 권장한다.
대표 계산 1 — 허용응력으로 허용 온도범위 구하기: 재료의 탄성계수는 210 GPa이고 선팽창계수는 11.5×10⁻⁶/℃인 경우, 허용응력 σ_allow = 85 MPa이면 허용 온도변화량은 ΔT = σ_allow / (E·α)로 구한다. 단위 변환을 고려하면 E = 210×10³ MPa이므로 ΔT ≈ 85 / (210×10³ × 11.5×10⁻⁶) ≈ 35.2℃이다. 기준온도 15℃를 기준으로 허용 범위는 15℃ ± 35.2℃, 즉 −20.2℃ ~ 50.2℃로 정할 수 있다.
대표 계산 2 — 온도강하로 인한 구속응력과 구속력 계산: E = 210 GPa, α = 0.000012/℃인 재료에서 온도가 30℃에서 15℃로 떨어지면 ΔT = 15℃라고 본다. 응력 σ = E·α·ΔT는 E와 α, ΔT를 곱해 구하고, 수치 대입 시 σ = 210×10³ MPa × 0.000012 × 15 ≈ 37.8 MPa로 계산한다. 단면적 A를 알고 있으면 F = σ·A로 구속력을 얻는 절차를 따른다.
대표 계산 3 — 고정된 막대의 하중 산정(단면적 이용): 연강봉의 단면적 A와 E, α, ΔT가 주어지면 P = σ·A = (E·α·ΔT)·A로 직접 계산한다. 예를 들어 E = 200 GPa, α = 12×10⁻⁶/℃, ΔT = 20℃, A = 5×10⁻⁴ m²이면 σ = 48 MPa, P = 48×10⁶ Pa × 5×10⁻⁴ m² = 24,000 N = 24 kN으로 산정한다.
문제 해결 팁: 항상 σ = E·α·ΔT 공식을 우선적으로 적용해 응력을 구하고, 응력에서 필요한 값을 파생시키는 방식으로 진행할 것이라 안내한다.
단면적이 5 cm², 길이가 60 cm인 연강봉을 천장에 매달고 20 ℃에서 0 ℃로 냉각시킬때 길이의 변화를 없게하려면 봉의 끝에 몇 kN의 추를 달아 주어야 하는가 ? (단, E=200 GPa, α =12x10⁻⁶/℃, 봉의 자중은 무시)
정답 ② · 온도가 내려가며 수축하려는 봉의 변형을 추의 인장력이 상쇄하도록 필요한 하중을 구하는 문제이다. 열응력 σ = EαΔT = 200×10⁹ Pa × 12×10⁻⁶/℃ × 20℃ = 48 MPa이 된다.
지름 6 mm인 강철선 150 m가 수직으로 매달려 있을 때 자중에 의한 처짐량은 몇 mm 인가? (단, E = 200 GPa, 강철선의 비중량은 7.7×10⁴ N/m³)
정답 ④ · 균일한 단면을 가진 봉이 자중에 의해 수직으로 매달려 있을 때의 최대 처짐량(늘어남)은 δ = ωL² / (2AE) 입니다. 여기서 ω는 단위 길이당 중량, L은 길이, A는 단면적, E는 탄성계수입니다.
자중 처짐 공식 δ=ωL²/2AE에 단면적과 단위 길이당 하중을 대입하여 계산하면 정답을 구할 수 있다.
길이가 60 cm이고 단면이 1 cm × 1 cm인 알미늄 봉에 인장하중 P = 10 kN이 걸리면 인장하중에 의해 늘어난 길이는? (단, 알루미늄의 E = 20 GPa)
정답 ② · 재료역학의 훅(Hooke)의 법칙에 의해 늘어난 길이(변형량) δ는 δ = PL / (AE)로 구합니다. 하중 P = 10 kN = 10,000 N, 길이 L = 60 cm = 0.6 m, 단면적 A = 1 cm² = 1×10^-4 m², 탄성계수 E = 20 GPa = 20×10^9 Pa입니다.
훅의 법칙 δ=PL/AE에 하중, 길이, 단면적, 탄성계수를 대입하여 mm 단위로 환산한다.
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