개념 한 쪽
비틀림을 받은 축이나 막대에서는 단면 반지름방향에서 전단응력이 발생하고, 그 분포와 크기는 재료의 전단탄성계수와 비틀린 각도에 의해 결정된다는 사실을 이해해야 한다고 정리한다.
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출제기준 단원 「전단 변형률」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 중공축 내부지름 결정 | 1 | 전달 동력·회전수와 허용 전단응력으로 안지름을 계산하는 방법을 묻는다 |
| 비틀림 각과 전단응력으로 길이 유도 | 1 | 주어진 전단응력과 비틀림 각, 전단탄성계수로 축 길이를 유도하는 절차를 묻는다 |
| 동일각 변위의 토크 비 비교 | 1 | 동일각도 변위를 위해 필요한 비틀림 모멘트의 비를 지름과 길이 변화에 따라 비교하는 방법을 묻는다 |
비틀림 하중을 받는 원형 단면의 최대 전단응력은 전단탄성계수 G, 반지름 r, 비틀림 각도 θ(라디안), 길이 L을 이용한 관계 τ = G·r·θ / L로 표현할 수 있다는 점을 설명한다. 이 식은 전단 변형률과 전단응력의 선형 관계를 바탕으로 유도된 식으로, 각도를 라디안 단위로 써야 정확한 값을 얻는다는 점을 강조한다.
원형 축의 경우 비틀림 모멘트 T와 극관성모멘트 J를 이용한 표현 τ = T·r / J 또는 τ = 16T / (πD³) 같은 형태를 사용한다는 점을 설명한다. 속이 빈 원통형 축은 극관성모멘트가 π(D⁴ - d⁴)/32로 표현되므로 비틀림 응력 계산 시 내부지름이 결과에 큰 영향을 준다는 사실을 기술한다.
비틀림 각과 응력은 서로 관련되어 있어 φ = T L / (J G) 와 τ = T c / J를 결합하면 φ = τ L / (G c) 관계로 정리할 수 있다는 점을 서술한다. 이를 통해 토크나 단면 형상을 알지 못할 때 전단응력과 비틀림 각으로부터 길이나 다른 치수를 유도할 수 있다는 사실을 제시한다.
동력과 회전수로부터 토크를 구하는 절차(P = 2π N T / 60 또는 T = P / ω)를 통해 전달 동력과 허용 전단응력으로부터 축의 최대 허용 내경을 구하거나 전달 가능한 최대 동력을 구하는 계산 패턴이 자주 출제된다는 점을 설명한다.
대표 계산 1 — 얇은 둥근막대의 최대 전단응력 계산 절차를 설명한다. 지름 10mm, 길이 2m, G = 84 GPa, 비틀림 각 10°일 때 각도를 라디안으로 환산하여 θ = 10π/180 ≈ 0.1745 rad로 놓는다. 반지름 r = 0.005 m를 대입하여 τ = G·r·θ / L = 84×10⁹ × 0.005 × 0.1745 / 2 ≈ 36.6×10⁶ Pa = 36.6 MPa가 됨을 계산한다.
대표 계산 2 — 원형 축의 비틀림 응력과 토크 관계를 이용한 계산 절차를 설명한다. 지름 50mm의 속이 찬 축에 토크 T = 1228 N·m가 작용할 때 τ = 16T / (πD³) 공식을 이용하여 D = 0.05 m를 대입하면 약 50 MPa가 됨을 계산한다. 이 계산에서 D 단위를 미터로 통일하는 점과 π 근사 처리 방법을 유의사항으로 제시한다.
바깥지름이 46mm인 속이 빈축이 120kW의 동력을 전달하는 데 이 때의 각속도는 40 rev/s 이다. 이 축의 허용비틀림 응력이 τa = 80 MPa 일 때, 최대 안지름은 몇 mm 인가?
정답 ② · 동력 P = 120kW, 각속도 ω = 40 rev/s × 2π = 80π rad/s 이다. 토크 T = P/ω = 120000 / (80π) ≈ 477.46 N·m 이다.
비틀림 응력 공식 τ=Tr/J를 변형하여 안지름 d를 구하면 약 41.8mm가 된다.
직경 5cm의 차축이 7°만큼 비틀렸다. 이때 최대 전단응력이 100MPa이고, 재료의 전단 탄성계수가 80GPa이라고 하면 이 차축의 길이에 가장 가까운 것은?
정답 ② · 비틀림각과 최대 전단응력으로부터 원축의 길이를 구하는 문제이다. 비틀림각 공식 φ=TL/JG와 전단응력 τ=Tc/J를 결합하면 φ=τL/Gc가 되어 L=φGc/τ로 길이를 바로 구할 수 있다.
비틀림 각 φ=TL/JG, 최대 전단응력 τ=Tc/J이므로 φ=τL/Gc로 길이 L을 직접 유도한다.
재료가 동일한 길이 L, 지름 d인 축과 길이 2L, 지름 2d인 축을 동일각도 만큼 변위시키는데 필요한 비틀림 모멘트의 비 T1/T2의 값은 얼마인가?
정답 ② · 비틀림 모멘트 T는 단면의 극단면2차모멘트 Ip와 비틀림 각도 θ, 그리고 길이 L에 따라 T = GIpθ/L 로 표현됩니다. 두 축을 동일한 각도(θ1=θ2)로 변위시키는 조건이 주어졌습니다.
비틀림 모멘트 T는 지름의 4제곱에 비례하고 길이에 반비례하므로, 지름 2배·길이 2배 조건에서 T2는 T1의 8배가 되어 비는 1/8이다.
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