개념 한 쪽
축과 풀리는 회전 동력을 전달하는 기본 부재이며, 비틀림 하중에서의 강도와 변형을 검토하여 적정 치수를 결정해야 한다는 기본 원리를 이해해야 한다. 주요 계산식은 극단면계수 Zp, 극관성모멘트 J, 비틀림 응력 및 비틀림각 공식으로 구성되며, 단위 통일과 지수 처리에 주의해야 한다.
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출제기준 단원 「동력 전달 및 강도설계(축,풀리)」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 최소 축 지름 계산 | 1 | 허용전단응력으로부터 축의 최소 지름을 구하기 |
| 중공축의 비틀림 모멘트 계산 | 1 | 중공축의 극단면계수로 토크를 산정하기 |
| 중공축의 최대 전단응력 산정 | 1 | J와 τ=Tc/J로부터 최대 전단응력을 계산하기 |
축의 비틀림 강도 계산은 허용 전단응력 τ와 극단면계수 Zp 또는 극관성모멘트 J 사이의 관계로 정리한다. 최대 토크 T는 T = τ·Zp로 구하고, 중공축과 중실축의 Zp 공식이 다르므로 단면 형상에 맞는 공식을 사용해야 한다.
원형 단면의 극단면계수와 극관성모멘트는 각각 Zp = πd³/16, J = πd⁴/32 공식을 사용한다. 중공축의 경우 Zp = (π/16)·(D⁴ - d⁴)/D 또는 J = π(do⁴ - di⁴)/32 공식을 적용하여 내부와 외부 지름을 반영한다.
동력과 회전수로부터 토크 또는 동력을 상호 변환할 때는 표준식을 사용한다. 동력은 P = 2πNT/60 형태로, 실무에서 쓰이는 간편식은 T = 9550·P/n 이므로 적절한 식을 선택하여 계산한다. 토크와 회전수 단위(rpm) 및 동력 단위(kW)의 일관성을 항상 확인해야 한다.
비틀림에 의한 최대 전단응력은 τ = T·c / J 또는 단일식으로 표현된 경우 τ = 16T/(πd³)을 사용하여 표면 응력을 산정한다. 비틀림각은 θ = T·L/(G·J)로 계산하며, 라디안 결과를 도 단위로 변환할 필요가 있음을 명심해야 한다.
계산 문제에서는 단위를 미리 통일하고, 도수(지름)의 3제곱·4제곱 처리 및 π 사용에서 발생하는 수치 오류를 주의하여 해를 도출해야 한다.
1) 허용전단응력 20 MPa, 지름 2 cm, 회전수 1800 rpm의 원형축에서 최대 전달동력을 구하는 절차는 T = τ·Zp, Zp = πd³/16 으로 먼저 최대 토크를 구하고 P = 2πNT/60 식에 대입하여 동력을 구한다. 주어진 값으로 계산하면 T ≈ 31.4 N·m, P ≈ 5.92 kW가 도출된다.
2) 비틀림모멘트 3200 N·m, 허용전단응력 60 MPa일 때 둥근축의 최소 지름은 τ = 16T/(πd³) 식을 d에 대해 정리하여 d = (16T/πτ)^(1/3) 을 계산하면 약 0.0648 m, 즉 6.48 cm가 된다.
3) 중공축의 비틀림 응력 계산은 J = π(do⁴ - di⁴)/32 또는 Zp = (π/16)·(D⁴ - d⁴)/D 공식을 사용하고 τ = T·c/J를 적용한다. 예시 문제들은 J와 Zp 공식을 정확히 적용하여 지름과 반지름 단위 일관성으로부터 응력과 토크를 산정하는 절차를 반복한다.
3200 N.m의 비틀림모멘트를 받는 둥근축이 있다. 이 축의 허용 전단응력을 60 MPa이라 하면 축의 지름은 최소 몇 cm로 해야 하는가?
정답 ① · 비틀림을 받는 둥근 축의 허용 전단응력 조건을 만족하는 최소 지름을 구하는 문제이다. 비틀림 전단응력 공식 τ = 16T/(πd³)를 변형하면 d = (16T/(πτ))^(1/3)이 된다.
비틀림 응력 공식 τ = 16T/(πd³)을 사용하여 허용 응력 이하가 되는 최소 지름을 계산한다.
바깥지름 4cm, 안지름 2cm의 속이 빈 원형축에 10MPa의 최대 전단응력이 생기도록 하려면 비틀림 모멘트의 크기는 몇 N·m로 해야 하는가?
정답 ④ · 속이 빈 원형축의 비틀림 모멘트는 최대 전단 응력과 단면 계수를 이용하여 T = τmax × Zp 로 구할 수 있습니다. 중공축의 극단면계수 Zp는 (π/16) × (D⁴ - d⁴) / D 공식으로 계산됩니다.
중공축 극단면계수 Zp=(π/16)(D⁴-d⁴)/D 계산 후 T=τZp 공식에 대입하면 약 118N·m가 된다.
바깥지름 8cm, 안지름 6cm의 속이 빈 축에 7kNㆍm의 비틀림 모멘트가 작용하고 있다. 이때 발생하는 최대 비틀림 응력을 구하면 약 몇 MPa인가?
정답 ④ · 중공 원형 축에 작용하는 비틀림 모멘트에 의한 최대 전단응력을 구하는 문제이다. 극단면2차모멘트는 J = π(do⁴ - di⁴)/32 = π(80⁴ - 60⁴)/32 = π(40960000 - 12960000)/32 약 2748894mm⁴이다.
원형 관의 극관성 모멘트 J=π(do⁴-di⁴)/32를 구한 후 비틀림 공식 τ=Tc/J에 대입하여 최대 응력을 구한다.
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