개념 한 쪽
보에 굽힘이 작용하면 내부에 굽힘모멘트에 대응하는 응력이 발생하고, 이 응력은 단면 형상에 따라 결정되는 단면계수와 연계되어 계산된다. 보의 지지조건과 하중 형태에 따라 최대 모멘트 식이 달라지므로 지지조건을 먼저 식별해야 한다. 처짐과 처짐각은 탄성계수와 단면 2차 모멘트에 의해 결정되므로 단위 통일과 I 계산을 정확히 수행해야 한다.
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출제기준 단원 「굽힘응력 및 변형률」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 단순보 허용분포하중 산정 | 1 | 단면계수와 중앙 최대모멘트 연계로 분포하중을 구하기 |
| 외팔보 단면치수 계산 | 1 | 외팔보 최대모멘트와 허용응력으로 폭을 역산하기 |
| 처짐으로부터 하중 역산 | 1 | 처짐공식 δ=PL³/48EI로 집중하중을 구하기 |
굽힘응력은 단면의 어느 한 점에 작용하는 굽힘모멘트 M과 단면계수 Z의 비로 정의되어 σ = M / Z 식으로 구한다. 단면계수 Z는 단면 형상에 따라 달라지며 직사각형 단면의 경우 Z = b h² / 6 공식을 사용한다. 따라서 높이 h가 증가하면 단면계수는 제곱으로 증가하므로 굽힘저항이 크게 향상된다.
보의 지지조건과 하중 위치에 따라 최대모멘트의 계수가 달라진다. 예를 들어 단순지지 단순보에 전 길이 균일분포하중이 작용하면 중앙 최대모멘트는 M = w L² / 8이 되고, 외팔보의 자유단에 집중하중이 있으면 최대모멘트는 M = P L이 된다. 양단이 고정된 보의 중앙 집중하중 시에는 M = P L / 8 관계를 적용한다.
단면 2차 모멘트 I는 처짐과 처짐각 계산에서 핵심적 변수이며 직사각형 단면에서는 I = b h³ / 12 공식을 사용한다. 처짐 관련 공식들은 하중 형태와 지지 조건별로 정해져 있으므로 문제에서 요구하는 식을 정확히 선택해야 한다. 또한 굽힘에 따른 변형률과 응력은 곡률과 탄성계수로 연결되며 굽힘응력의 근사식 σ = E y / R를 사용할 수 있다.
계산 시 단위 통일이 필수적이다. 길이 단위를 m로, 응력 단위를 Pa(또는 MPa로 표기 시 환산)로, 하중을 N 단위로 맞추어 식에 대입해야 단위 오류를 피할 수 있다.
예제 1 — 단순보의 허용 분포하중 계산: 길이 L=2.4 m, 단면 b×h = 12 cm × 15 cm, 허용굽힘응력 σa = 48 MPa인 단순보에 균일분포하중 w가 작용할 때 허용 w를 구한다. 먼저 단면계수 Z = b h² / 6 = 12×15²/6 = 450 cm³를 구하고 이를 4.5×10⁻⁴ m³로 변환한다. 허용모멘트 M = σa × Z = 48×10⁶ Pa × 4.5×10⁻⁴ m³ = 21,600 N·m를 얻는다. 단순보의 중앙 최대모멘트 M = w L² / 8 식을 역으로 풀어 w = 8M / L² = 8×21600 / (2.4²) ≈ 30,000 N/m = 30 kN/m을 얻는다.
예제 2 — 처짐으로부터 집중하중 산정: 길이 L=2 m, 단면 4 cm × 6 cm, 중앙 집중하중에 따른 최대처짐이 δ = 0.5 cm일 때 하중 P를 구한다. 단면 2차모멘트 I = b h³ / 12 = 0.04×0.06³ / 12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴를 계산한다. 처짐식 δ = P L³ / 48 E I를 P에 대해 정리하면 P = 48 E I δ / L³이다. 여기서 E = 200×10⁹ Pa, δ = 0.005 m를 대입하면 P ≈ 4,320 N를 얻는다.
길이 240cm, 단면의 폭x높이 = 12cmx15cm의 단순보가 ω kN/m의 균일분포하중을 받고 있다. 이보의 허용굽힘응력 σ a = 48 MPa일 때 허용할 수 있는 분포하중의 최대값은?
정답 ② · 단순보가 균일분포하중을 받을 때의 최대 굽힘모멘트는 Mmax = wL²/8 입니다. 보의 길이 L = 240cm = 2.4m 이고, 단면의 폭 b=12cm, 높이 h=15cm 이므로 단면계수 Z = b×h²/6 = (12 × 15²) / 6 = 450 cm³ = 4.5 × 10^-4 m³ 입니다.
단순보의 최대 굽힘모멘트 wL²/8과 허용응력 σ=M/Z 공식을 연계하여 분포하중 w를 구한다.
길이 2m의 외팔보의 자유단에 5kN의 집중하중이 작용하고 있다. 허용응력이 100MPa이라면 높이 10cm의 사각형 단면에서 폭은?
정답 ① · 외팔보 자유단의 집중하중에 의한 최대 굽힘 모멘트는 M = P × L = 5kN × 2m = 10 kN·m 입니다. 사각형 단면의 단면계수 Z = b*h² / 6 이며, 허용 응력 σ = M / Z 입니다.
외팔보 최대굽힘모멘트 M=PL, 허용응력 σ=M/Z 공식을 이용해 단면계수 Z를 구하고 사각형 Z=bh²/6으로 폭 b를 계산한다.
단면[폭×높이]이 4cm×6cm이고 길이가 2m인 단순보의 중앙에 집중하중이 작용할 때 최대처짐이 0.5cm라면 집중하중은 몇 N인가? (단, 탄성계수 E=200GPa이다.)
정답 ④ · 단순보 중앙 집중하중에 대한 최대 처짐 공식을 이용해 하중을 역산하는 문제이다. 먼저 단면 2차 모멘트를 구하면 I = bh³/12 = (0.04×0.06³)/12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴이다.
단순보 중앙 집중하중 처짐 공식 δ=PL³/48EI에 모든 단위를 SI 단위로 통일하여 대입하면 하중 P를 구할 수 있다.
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