개념 한 쪽
보의 설계 문제는 처짐과 응력 한계를 만족시키는지 판별하는 계산 능력을 평가한다. 대표적 공식으로는 단순보와 외팔보의 처짐 및 처짐각 공식, 굽힘응력과 단면계수 관계, 그리고 축력에 의한 스프링 상수 공식이 자주 사용된다. 단위 통일과 단면 2차모멘트·단면계수의 정의를 정확히 적용하는 것이 핵심이다.
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출제기준 단원 「보의 설계(응용)」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 단면치수로 폭 산정 | 1 | 허용응력과 단면계수로 폭를 계산하는 절차 |
| 외팔보 끝처짐 계산 | 1 | 외팔보 자유단 처짐 δ = PL^3/(3EI)를 적용하여 수치 계산하기 |
| 축력 스프링상수 계산 | 1 | 스프링 상수 k = EA/L를 단위 통일 후 계산하기 |
보의 처짐량과 처짐각은 하중 종류·지지조건·보의 길이 및 단면의 강성 EI에 의해 결정된다. 등분포하중을 받는 단순보의 최대 처짐은 δ = 5wℓ⁴/(384EI)이고, 외팔보의 자유단 처짐은 δ = PL³/(3EI)라는 공식이 자주 쓰인다는 점을 이해한다. 처짐 공식의 분모에 있는 E와 I는 강성에 해당하므로 처짐과 반비례함을 기억한다.
단면 2차 모멘트 I는 단면 형상에 따라 달라지며 직사각형 단면의 경우 I = bh³/12, 원형 단면의 경우 I = πd⁴/64가 적용된다는 점을 확인한다. 단면계수 Z는 굽힘응력 σ = M/Z 관계에서 사용되며 직사각형 단면의 Z = bh²/6 공식을 사용하여 허용 굽힘응력을 만족시키는 치수를 산정한다.
외팔보의 경우 최대 굽힘모멘트는 자유단 하중에서 M = PL이고, 특정 지점의 모멘트는 하중과 그 지점까지의 거리 곱으로 산정한다. 허용응력을 기준으로 단면계수를 역으로 구하여 폭이나 높이를 결정하는 절차를 숙지한다. 단위 변환(kN→N, GPa→Pa, cm→m, mm 단위 사용 시 일관성 유지)은 계산에서 빈번히 실수되는 부분이므로 주의한다.
축력을 받는 봉을 스프링으로 볼 때 스프링 상수는 k = EA/L로 표현된다. 탄성계수 E와 단면적 A, 길이 L을 SI 단위로 통일하여 대입하면 스프링 상수를 구할 수 있다는 점을 확인한다.
대표 계산 1 — 외팔보 자유단 처짐 계산 예시: 단면 치수가 가로 30cm, 세로 10cm이며 길이가 1.5m인 외팔보의 끝단에 8kN짜리 집중하중이 작용하면 δ = PL³/(3EI)를 사용한다. 단면이차모멘트 I = bh³/12을 적용하고 모든 단위를 N·mm·mm 단위로 통일하면 계산 결과가 1.8mm가 나온다. 단위 통일과 I 계산(높이의 세제곱)을 확인하는 절차를 보여준다.
대표 계산 2 — 축력 스프링 상수 계산 예시: 알루미늄 E = 7GPa, 길이 0.2m, 단면적 10cm²일 때 스프링 상수는 k = EA/L를 사용한다. SI 단위로 변환 후 대입하면 k = 35 MN/m가 되어 단위 변환 과정의 중요성을 확인한다.
길이 2m의 외팔보의 자유단에 5kN의 집중하중이 작용하고 있다. 허용응력이 100MPa이라면 높이 10cm의 사각형 단면에서 폭은?
정답 ① · 외팔보 자유단의 집중하중에 의한 최대 굽힘 모멘트는 M = P × L = 5kN × 2m = 10 kN·m 입니다. 사각형 단면의 단면계수 Z = b*h² / 6 이며, 허용 응력 σ = M / Z 입니다.
외팔보 최대굽힘모멘트 M=PL, 허용응력 σ=M/Z 공식을 이용해 단면계수 Z를 구하고 사각형 Z=bh²/6으로 폭 b를 계산한다.
폭 30 cm, 높이 10 cm, 길이 1.5 m의 외팔보의 자유단에 8 kN 의 집중하중을 작용시킬 때의 최대처짐은 몇 mm 인가? (단, 탄성계수 E = 200 GPa 이다.)
정답 ④ · 외팔보 자유단에 집중하중이 작용할 때의 최대 처짐을 계산하는 문제이다. 처짐 공식은 δ=PL 세제곱/(3EI)이고, 단면 2차 모멘트는 I=bh 세제곱/12=300×100 세제곱/12=2.5×10의 7제곱 mm 네제곱이다.
외팔보의 최대처짐 δ=PL^3/(3EI) 공식을 적용하면, 주어진 조건에서 1.8mm가 나온다.
알루미늄의 탄성계수는 약 7GPa이다. 길이 20cm, 단면적 10cm²인 봉을 축력을 받는 스프링으로 사용하려할 때, 스프링 상수는 몇 MN/m인가?
정답 ② · 축력을 받는 봉을 스프링으로 볼 때의 스프링 상수를 구하는 문제이다. 봉의 강성은 k = EA/L로 정의된다.
스프링 상수 k는 EA/L이므로, 단위 변환 후 계산하면 35 MN/m가 된다.
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