유동장 안에서 속도가 V(x,y,z,t)=10x2ytㆍi로 표현될 때 위치 x=1, y=1, z=1 시각 t=1에서의 x방향 가속도 성분 ax는? (단, V=Vxi+Vyj+Vzk, a=axi+ayj+azk)
- 10
- 110
- 200
- 210
정답과 해설 보기
정답 ④ · 주어진 속도장에서 특정 위치와 시각의 가속도 성분을 구하는 문제이다. 유체의 가속도는 물질도함수로 구하며 x방향 성분은 ax=∂V/∂t+Vx(∂V/∂x)로 표현된다.
개념 한 쪽
건설기계설비기사 오일러 방정식 — 비점성 유동과 경계층 적용 범위
오일러 방정식은 점성을 무시한 비점성 유체의 운동을 다루는 기본 방정식이다. 경계층처럼 점성 효과가 지배적인 영역과 오일러 방정식의 적용 범위를 구분하여 문제를 해결해야 한다고 설명한다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「오일러 방정식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 가속도 계산 | 1 | 물질도함수로 총가속도 성분을 계산하기 |
| 유동 상태 판별 | 1 | 시간·공간 미분 조건으로 비정상·균일 유동을 판별하기 |
| 와도 계산 | 1 | 주어진 속도분포를 편미분하여 와도를 구하기 |
뜻
오일러 방정식은 유체의 점성 항을 무시한 운동 방정식으로서 비점성 유체 가정 하에서 유동을 서술한다. 점성 항이 없는 만큼 경계층 내부처럼 점성 효과가 우세한 영역에는 적용할 수 없다는 점을 명확히 한다.
경계층은 물체 표면 근처에서 유체의 점성 효과가 지배적으로 작용하여 속도 구배가 큰 얇은 층을 의미한다. 경계층 내부에서는 마찰 저항과 큰 속도 변화가 발생하므로 점성 항을 고려한 나비에-스톡스 방정식 등을 사용해야 한다고 본다.
유동의 가속도는 국소가속도(시간에 따른 변화)와 대류가속도(공간 이동에 따른 변화)의 합으로 나타낸다. 물질도함수 형태의 표현을 사용하여 총가속도 a = ∂V/∂t + V·∂V/∂x와 같이 계산한다는 점을 강조한다.
와도(vorticity)는 유체의 회전을 나타내는 물리량으로 정의식 ζ = ∂v/∂x - ∂u/∂y를 사용한다. 주어진 속도 성분을 편미분하여 와도를 구하며, 일부 문제에서는 v 성분이 0일 때 ζ = -∂u/∂y로 단순화하여 계산한다.
유동의 시간·공간 분류에 따라 정상/비정상 및 균일/비균일 유동을 구분한다. 비정상(unsteady)은 시간에 따른 변화가 있고(∂u/∂t ≠ 0), 균일(uniform)은 공간에 따른 변화가 없음을(∂u/∂s = 0) 의미한다고 정리한다.
예제
대표 계산 1 — 총가속도 계산: 속도장이 V(x,y,z,t)=10 x^2 y t i일 때 총가속도 성분은 국소가속도 ∂V/∂t와 대류항 V·∂V/∂x의 합으로 구한다. ∂V/∂t = 10 x^2 y이고 ∂V/∂x = 20 x y t이므로 대류항은 (10 x^2 y t)(20 x y t) = 200 x^3 y^2 t^2가 된다. x=1, y=1, t=1을 대입하면 ax = 10 + 200 = 210이 된다.
대표 계산 2 — 와도 계산: 경계층의 속도분포 u = 10 y (1 + 0.05 y^3)이고 v = 0일 때 와도 정의 ζ = ∂v/∂x - ∂u/∂y를 적용한다. v=0이므로 ζ = -∂u/∂y이고 u를 전개하면 u = 10 y + 0.5 y^4이므로 ∂u/∂y = 10 + 2 y^3이다. y = 1을 대입하면 ζ = -(10 + 2) = -12 s^-1이 된다.
대표 기출 3문항
유속 u가 시간 t와 임의 방향의 좌표 s의 함수일 때 비정상 균일유동(unsteady uniform flow)을 나타내는 것은?
- (∂u/∂t) = 0, (∂u/∂s) = 0
- (∂u/∂t) ≠ 0, (∂u/∂s) = 0
- (∂u/∂t) = 0, (∂u/∂s) ≠ 0
- (∂u/∂t) ≠ 0, (∂u/∂s) ≠ 0
정답과 해설 보기
정답 ② · 비정상 균일유동을 편미분 조건으로 판별하는 문제이다. 비정상(unsteady)은 유속이 시간에 따라 변하므로 ∂u/∂t ≠ 0을 의미한다.
비정상(unsteady)은 시간 t에 대한 변화가 있고(∂u/∂t≠0), 균일(uniform)은 공간 s에 대한 변화가 없으므로(∂u/∂s=0)이다.
경계층의 속도분포가 u=10y(1+0.05y3)이고 y방향의 속도성분 v=0일 때 벽면으로부터 수직거리 y=1m 지점에서의 와도(vorticity)는?
- -6s-1
- -10.5s-1
- -12s-1
- -24s-1
정답과 해설 보기
정답 ③ · 와도(Vorticity)는 속도구배의 회전(Curl)으로 정의되며 ζ = ∂v/∂x - ∂u/∂y 로 계산됩니다. 주어진 조건에서 y방향 속도성분 v=0이고, x방향 속도 u = 10y(1+0.05y^3) = 10y + 0.5y^4 입니다.
자주 묻는 물음
- 오일러 방정식은 언제 적용할 수 있나?
- 오일러 방정식은 점성 항을 무시할 수 있는 비점성 유동 영역에 적용한다. 경계층처럼 점성이 지배적인 영역에는 부적합하므로 적용 범위를 구분해야 한다.
- 총가속도는 어떻게 구하나?
- 총가속도는 국소가속도(∂V/∂t)와 대류가속도(V·∂V/∂x)의 합으로 구한다. 물질도함수 개념으로 a = ∂V/∂t + V·∂V/∂x를 사용하면 된다.
- 와도 계산 시 절차는 무엇인가?
- 와도는 ζ = ∂v/∂x - ∂u/∂y로 정의하므로, 주어진 속도성분을 대응 좌표로 편미분하고 값을 대입하여 계산한다. v=0이면 ζ = -∂u/∂y로 단순화된다.
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