개념 한 쪽
유체운동학에서 유동의 공간적·시간적 분포는 속도장으로 표현하고, 그로부터 유체 입자의 가속도를 물질미분으로 구한다는 핵심 개념을 익힌다.
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출제기준 단원 「속도장, 가속도장」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 유선 정의 판단 | 1 | 유선의 정의와 정상/비정상에서의 관계를 묻는 이해 문제 |
| 물질미분 가속도 계산 | 1 | 주어진 속도분포에 대해 국소항과 대류항을 계산하여 가속도를 구하는 수치 문제 |
| 균일성·비정상성 판별 | 1 | 시간·공간 미분 조건으로 유동의 비정상성 및 균일성을 판별하는 개념 문제 |
유선(streamline)은 유동장 내 각 점에서 속도 벡터가 항상 접선 방향이 되는 가상의 곡선으로 정의한다. 유선은 순간적인 흐름의 방향을 나타내며 정상류에서는 유체 입자의 궤적(pathline)과 일치하지만 비정상류에서는 유선의 형태가 시간에 따라 변할 수 있으므로 유선과 궤적이 일치하지 않을 수 있다.
유동을 분류할 때 '비정상(unsteady)'은 시간이 지남에 따라 유속이 변하는 상태로 ∂u/∂t ≠ 0을 의미하고, '균일(uniform)'은 공간상의 위치에 따라 유속이 변하지 않는 상태로 ∂u/∂s = 0을 의미한다. 이 분류 기준을 통해 정상·비정상과 균일·비균일을 조합하여 유동의 성격을 판별한다.
유체 입자의 가속도는 국소적 시간 변화인 국소가속도와 입자의 공간 이동에 따른 변화인 대류가속도 두 항의 합으로 주어지는 물질미분으로 구한다. 일반적으로 x방향 가속도는 ax = ∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y 식으로 표현되며, 주어진 속도분포에 대해 각 항을 계산하여 합산한다.
경계층과 같은 특정 영역에서는 속도 기울기가 커서 와도(vorticity) 계산이 필요하다. 2차원 유동에서 와도는 ζ = ∂v/∂x - ∂u/∂y로 정의하며, v=0이면 ζ = -∂u/∂y로 간단히 계산할 수 있다.
유동 가시화에서 한 지점에서 연속적으로 배출된 물질의 흔적은 유맥선(streakline)에 해당한다는 점을 구분하여 기억한다.
속도장 V(x,y,z,t)=10x²yt i로 주어졌을 때 물질미분 공식을 적용하면 국소항 ∂V/∂t와 대류항 V(∂V/∂x)를 계산하여 x=1, y=1, t=1에서 ax = 10 + 200 = 210이 됨을 보인다.
또 다른 예로 비압축성 유동에서 u=x²t, v=x²-2xyt의 경우 물질미분 공식을 이용해 x=2, y=-1, t=2에서의 x방향 가속도를 계산하는 과정이 있으며, 참고 계산 기준으로 ax = 68으로 제시된 사례가 있음을 확인한다.
연속방정식 Q=AV를 이용하는 문제에서는 단면적 변화를 통해 V(x)를 구하고 가속도는 a = V(dV/dx)로 구하면 된다. 예컨대 유량 10m³/s, 수심 1m, 폭이 위치에 따라 줄어드는 강에서 폭 5m인 지점의 가속도는 약 0.08m/s²가 됨을 보인다.
와도 계산 예에서는 u=10y(1+0.05y³)를 전개해 du/dy를 구하고 y=1에서 ζ = -12 s⁻¹를 얻는 과정을 통해 정의 적용과 미분 계산을 확인한다.
유선(stream line)이란?
정답 ③ · 유체역학에서 유선의 정의를 묻는 문제이다. 유선은 유동장 내의 모든 점에서 그 점의 속도 벡터 방향과 접하는 가상의 연속 curve로 정의된다.
유선은 유동장 내에서 모든 점에서 접선 방향이 속도 벡터와 일치하는 가상의 곡선이다.
유동장 안에서 속도가 V(x,y,z,t)=10x2ytㆍi로 표현될 때 위치 x=1, y=1, z=1 시각 t=1에서의 x방향 가속도 성분 ax는? (단, V=Vxi+Vyj+Vzk, a=axi+ayj+azk)
정답 ④ · 주어진 속도장에서 특정 위치와 시각의 가속도 성분을 구하는 문제이다. 유체의 가속도는 물질도함수로 구하며 x방향 성분은 ax=∂V/∂t+Vx(∂V/∂x)로 표현된다.
유속 u가 시간 t와 임의 방향의 좌표 s의 함수일 때 비정상 균일유동(unsteady uniform flow)을 나타내는 것은?
정답 ② · 비정상 균일유동을 편미분 조건으로 판별하는 문제이다. 비정상(unsteady)은 유속이 시간에 따라 변하므로 ∂u/∂t ≠ 0을 의미한다.
비정상(unsteady)은 시간 t에 대한 변화가 있고(∂u/∂t≠0), 균일(uniform)은 공간 s에 대한 변화가 없으므로(∂u/∂s=0)이다.
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