개념 한 쪽
전기공사기사 교류 회로의 페이저 해석 — 임피던스와 역률, 공진과 선택도
교류 회로의 페이저 해석 세트는 인덕터·콘덴서의 리액턴스와 임피던스로 전류를 구하는 계산, R-L 직렬회로의 역률, 위상차에서 무효전력을 구하는 계산, 공진에서 콘덴서 값을 구하는 계산, 선택도에서 코일 저항을 구하는 계산, 코일에 축적되는 평균 자기에너지, 순시값의 위상을 묻는다.
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뜻
페이저 해석은 정현파를 크기와 위상으로 바꾸어 다룬다. 유도 리액턴스는 XL=2πfL, 용량 리액턴스는 XC=1/(2πfC)이고, 직렬회로의 임피던스 크기는 저항과 리액턴스의 제곱합의 제곱근이며 전류는 전압을 임피던스로 나눈 값이다. 인덕턴스 0.1H에 실효값 100V, 60Hz를 가하면 XL이 2π×60×0.1인 약 37.7Ω이므로 전류는 약 2.65A다.
R-L 직렬회로의 역률은 전체 임피던스 가운데 저항이 차지하는 비율이다. 저항 50Ω, 인덕턴스 200mH에 50Hz를 가하면 XL이 약 62.8Ω, 임피던스가 약 80.3Ω이므로 역률은 50÷80.3인 약 62%다.
무효전력은 전압과 전류의 실효값에 위상차의 사인값을 곱해 구한다. e=50sin(ωt+θ), i=4sin(ωt+θ−30°)이면 실효값이 50÷√2와 4÷√2이고 위상차가 30°이므로 무효전력은 35.4×2.83×sin30°인 약 50Var다.
직렬 공진에서는 ωL과 1/(ωC)가 같아지므로 C=1/(ω²L)로 콘덴서 값을 구한다. 주파수 1000Hz, 인덕턴스 20mH이면 C는 약 1.27μF다. 선택도 Q는 ωL을 저항으로 나눈 값이므로 저항은 ωL÷Q다. 2MHz, 0.02mH, Q=60이면 ωL이 약 251Ω이므로 저항은 약 4.2Ω이다.
코일에 축적되는 평균 자기에너지는 ½LI²에 실효전류를 넣어 구한다. 인덕턴스 20mH에 실효값 50V, 60Hz를 가하면 XL이 약 7.54Ω이라 전류가 약 6.6A이고, 에너지는 약 0.44J다.
순시값은 초기 위상에 시간이 지난 만큼의 회전각을 더해 구한다. 최대값 10V인 정현파가 t=0에서 5V이고 증가 중이면 초기 위상은 30°이고, 60Hz에서 2ms는 43.2°에 해당하므로 그때 위상은 73.2°가 된다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 임피던스와 전류 — XL 또는 XC를 구하고 |Z|=√(R²+X²)로 나눈다. 0.1H·60Hz·100V이면 XL이 약 37.7Ω이라 전류가 약 2.65A다. ② 역률과 무효전력 — 역률은 R/|Z|, 무효전력은 실효값×실효값×sin(위상차)다. ③ 공진과 선택도 — 공진 콘덴서는 C=1/(ω²L), 코일 저항은 ωL÷Q다.
자주 묻는 물음
- 인덕턴스 0.1H인 코일에 실효값 100V, 60Hz를 가했을 때 전류는?
- XL이 2π×60×0.1인 약 37.7Ω이므로 전류는 약 2.65A입니다.
- 주파수 1000Hz, 인덕턴스 20mH인 RLC 직렬회로를 공진시키는 콘덴서 값은?
- C=1/(ω²L)이므로 약 1.27μF입니다.
- e=50sin(ωt+θ), i=4sin(ωt+θ−30°)일 때 무효전력은?
- 실효값 50÷√2와 4÷√2에 sin30°를 곱해 약 50Var입니다.
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